В роботі [3] була здійснена спроба створити нову галузь діяльності, основна мета якої – створення переліку ознак, властивостей задачі, на які потрібно звернути увагу, щоб скористатись якоюсь конкретною рушійною силою. Ця галузь названа діяльністю активізації рушійних сил. В останній згаданій роботі наведено досить велику кількість (40 штук) задач – прикладів того, як саме використовувати сили, як вони допомагають розв’язати задачу і вказано, які були мотиви, коли саме ця конкретна сила використовувалась.

В роботі, яка пропонується читачеві, доповнюються наведені в [3] основні характеристики рушійних сил виховання. Сказане супроводжується детальнішим, повнішим переліком ознак задачі, інтерпретацією цих ознак для активізації якоїсь конкретної рушійної сили. Кожна рушійна сила, як виявляється, при наявності певних ознак задачі може активізувати кожну іншу рушійну силу, напрямлену на розв’язання цієї задачі.

Глобальними назвемо ті цілі даної галузі діяльності, які визначають її сутність. Кількість таких цілей не може бути дуже великою, оскільки тоді галузь природно розпадеться на кілька дрібніших. Однак може існувати вид діяльності з однією-єдиною ціллю.

Розглянемо приклад виду діяльності і укажемо відповідні глобальні цілі.

1. Розробити методи, що дозволяють виражати зв’язки між предметами і явищами через співвідношення між числами та іншими математичними об’єктами.
2. Розробити правила утворення математичних понять і об’єктів.
3. Створити надійні критерії правильності математичних висловлювань і методи отримання правильних висловлювань.
4. Створити ефективні методи розв’язування математичних задач.
5. Розробити методи доведення існування розв’язків та знаходження кількості розв’язків математичних задач.
6. Розробити методи отримання наближених розв’язків математичних задач та методи оцінки їхньої близкості до точних розв’язків.
7. Розробити способи оцінки складності математичних задач і складності методів їх розв’язування.
8. Розробити принципи і методи класифікації математичних об’єктів та відшукання інваріантних математичних понять.
9. Розробити математичні методи дослідження процесів у інших галузях діяльності як при неперервному, так і при дискретному спостереженні за цими процесами.
10. Розробити методи математичної обробки і математичного передбачення результатів спостережень у інших галузях діяльності.
11. Створити засоби виокремлення елементів математичної діяльності з близьких видів діяльності з метою часткового приєднання цих видів діяльності до математичної діяльності .

Можна сперечатись стосовно повноти цього списку глобальних цілей, однак навряд чи можна поставити під сумнів твердження про те, що указані цілі визначають саме цей вид діяльності, а не інший.

Глобальними цілями визначаються локальні, які є в певному сенсі подрібненнями перших. Локальні цілі - це конкретні задачі, розв’язання яких призводить до часткового досягнення однієї з глобальних цілей. Кількість і зміст локальних цілей не є постійними, вони змінюються в залежності від ступеню розвитку даної галузі діяльності, рівня досягнення глобальних цілей в ній, розвиненості методів досягненя локальних цілей, стану близьких видів діяльності, тощо. Ясно, що повне досягнення глобальної цілі досить рідкісне і фактично змінює даний вид діяльності, в той час як повне досягнення локальної цілі не змінює виду діяльності і є лише показником прогресу в ньому. Можливе також явище глобалізації локальної цілі, при якому локальна ціль в одній галузі діяльності стає глобальною в іншій, або якась локальна ціль, досягнення якої виявилось потрібним, але складним, глобалізується, створюються локальні цілі для її досягнення, утворюється по-суті нова галузь діяльності, направлена на досягнення цілі, яка колись була локальною. Таке явище не є винятковим, воно характеризує процес досягнення кожної локальної цілі, хоча процес глобалізації може пройти непоміченим.

Навчально-виховний або освітній процес в кожній галузі має мету – опанування індивідом (індивідумами) методів досягнення локальних чи й глобальних цілей даної галузі діяльності. Він складається з двох взаємопов’язаних, але незалежних процесів - виховання і навчання. Відповідно до цього індивід може бути навченим чи вихованим у залежності від того, вміє він досягати цілей конкретними, відомими йому методами, чи, спираючись на загальні принципи, може наблизитись до них.

Навченим назвем того, хто, здобувши конкретні знання в певній галузі, може досягти мети, застосувавши їх наперед відомим йому способом.

Вихований – той, хто, не використовуючи конкретні знання, може досягти мети, спираючись на загальні принципи наближення до неї.

Навчання – процес надання індивіду стану навченого, тобто опанування певних конкретних знань, дій, способів досягнення конкретних цілей.

Виховання – процес надання індивіду стану вихованого, тобто опанування загальних принципів досягнення мети без обов’язкової конкретизації їх типів. Отже, виховання в кожній галузі діяльності складається з загальних методів наближення до її цілей.

Вихованість і навченість (продукт навчально-виховного процесу) властиві кожній галузі діяльноcті, що видно з поданих далі прикладів.

1. Навчений громадянин у своїй суспільній поведінці користується загальноприйнятими, відомоми йому законами; вихований громадянин, навіть не знаючи деяких конкретних законів, має уявлення про загальні принципи поведінки людини в суспільстві.

Навчений, але невихований громадянин не має конфліктів з суспільством, яке прийняло несуперечливі закони, що регламентують поведінку членів суспільства, але може бути безпомічним в ситуації, яка вимагає прийняття нестандартного рішення.

Вихований, але не навчений громадянин не має конфліктів в демократичному суспільстві, користуючись загальними принципами поведінки, але може бути безпомічним в ситуації, яка вимагає знання конкретних законів, в ситуації, коли багатоваріантність поведінки може призвести до конфлікту між членами суспільства.

2. Навчений кухар може приготувати конкретні страви за конкретними рецептами; вихований кухор знає загальні принципи приготування їжі.

Ідеальний кухар – той, хто може, відходячи від рецептів, користуючись загальними принципами, приготувати страви високої якості, по суті, створивши нові рецепти. Можна уявити собі навченого, але невихованого кухаря, або вихованого, але ненавченого. Очевидно, першого типу кухар міг би бути шеф-поваром ресторану за умови, що він знає досить багато рецептів і має весь набір продуктів.

Вихований ненавчений кухар, знаючи загальні принципи, може тільки давати рекомендації кухарям першого типу, однак наслідки такого співробітництва передбачити неможливо.

3. Навчений математик (учень, студент, вчений) може розв’язати конкретні задачі за конкретними алгоритмами; вихований математик знає загальні принципи розв’язання незнайомих задач. Ідеальний математик – той, хто може, користуючись загальними принципами, створити алгоритм розв’язання незнайомої задачі, яку він сам і поставить.

Можна уявити собі навченого і невихованого або вихованого і ненавченого математика. Перший може досягти значних успіхів за умови, що він знає достатньо багато алгоритмів. Другий досить часто затрачує час на “відкриття” давно відомих алгоритмів, або ж безпомічний при розв’язанні досить простої задачі, розв’язання якої базується на відомій, але досить нетривіальній ідеї.

Ми розглядаємо виховання і навчання як категорії, що існують в єдності, у зв’язку з чим перевага виховних функцій призводить до витіснення функцій навчальних і навпаки.

Перевага навчальних функцій над виховними загрожує надмірною залежністю від надбаних знань, втратою оригінального сприйняття. Це яскраво ілюструється сучасним станом викладання математики в загальноосвітній школі, де перевага навчальних функцій сприяла гальмуванню творчого потенціалу учнів, що проявляється в їх безпорадності щодо застосування своїх знань. В той же час, перевага виховання над навчанням призводить до того, що людина, знаючи, як досягти цілі, здатна обговорювати поставлену проблему, запропонувати підходи до її вирішення, однак не здатна самостійно здійснити бодай один конкретний крок у потрібному напрямку через недостатню навченість.

Виховання неможливе без засвоєння конкретних кроків, які дозволяють реалізувати конкретні принципи, наближають до поставленої цілі. Тобто, вихованець повинен бути навчений хоча б настільки, щоб мати запас конкретних знань, умінь, навичок втілення загальних принципів в життя.

Навчання неможливе без виховання, загальної здатності розпізнавати ситуації, в яких можливе застосування наявних знань, умінь, навичок. Тобто, індивід повинен бути вихованим хоча б настільки, щоб помітити – утворились умови, сприятливі для використання відомих йому знань, умінь, навичок.

Це ставить викладача (вчителя, керівника навчально-виховного або освітнього процесу) перед необхідністю володіння знаннями і навичками щодо виховання, а від вихователя (працівника дошкільного виховного закладу, батьків) вимагає вільного опанування бодай найпростішими методами навчання.

Таким чином, виховання і навчання – складові кожної галузі людської діяльності. Навчально-виховний процес в ній має на меті опанування індивідом як конкретних методів досягнення цілей даної галузі – навчання, так і загальних методів наближення до цілей – виховання. Навчання містить елементи виховання і навпаки, виховання містить елементи навчання. Оптимальне співвідношення між вихованням і навчанням визначається рушійними силам навчально-виховного процесу в кожній галузі діяьності.

Процес навчання в кожній галузі діяльності полягає в створенні, поширенні, засвоєнні, опануванні конкретних рецептів, алгоритмів досягнення її локальних цілей, тоді як виховання полягає у вивченні рушійних сил даної галузі діяльності. Не обовязково володіти здатністю і вміннями використати, застосувати ту, чи іншу силу. До успіху може привести тільки розуміння того, якими засобами, завдяки яким зусиллям можна досягти цілей даної галузі. Забезпечення ж відповідних умінь і є завданням навчання в цій галузі .

Всі основні сили поділимо на пари двоїстих й дамо їм такі назви: сила логіки і

сила абсурду; сила гармонії і сила дисонансу; сила символу і сила тотожності;

сила руху і сила спокою; сила свободи і сила залежності; сила

детермінованого і сила випадкового; сила узагальнення і сила конкретизації.

Спочатку наведемо короткі формулювання ознак, кожна із яких повинна асоціюватись з відповідною рушійною силою у першу чергу.

Роз’ясненя, уточнення, пояснення суті наведених вище понять буде дано далі.

У цій частині ми деталізуємо зміст кожної із сил, об’єднавши їх у природні пари. Аналізуючи написане далі, не слід думати про утворені пари, виходячи з понять діалектики (єдності і боротьби протилежностей). Запропоновані пари не утворюють єдності, бо тільки усі чотирнадцять основних сил, узятих разом, утворюють єдність, яка гарантує прогрес в кожній галузі діяльності. Ці пари не утворюють діалектичної протилежності, бо відрізняються вони тільки за напрямком і то – формально. Ця умовна “протилежність” істотно залежить від виду діяльності чи від конкретної задачі. У конкретній ситуації, протилежність у філологічному розумінні цього слова, при реальному використанні сил може бути взагалі відсутньою, бо такі сили фактично створюють один-єдиний напрямок, у якому потрібно діяти, щоб розв’язати задачу.

Ефективність дії сили логіки в кожній галузі діяльності не викликає сумніву. Міркувати чи діяти логічно – значить міркувати чи діяти у відповідності до загальноприйнятих правил утворення істинних тверджень та фактів із фактів та тверджень, істинність яких наперед відома. Сила логіки проявляється тоді коли, базуючись на відомій інформації, вдається дістати нову, істинність якої не викликає сумніву, є беззаперечною. Протягом тривалого часу свого існування суспільство визначило, які саме правила вважаються загальноприйнятими, хоча можливі й альтернативні підходи. Найважливішим є те, що ці правила існують. Поняття логічного може відрізнятись у різних галузях діяльності. Так, наприклад, ніхто не буде сумніватись у наявності такої різниці у науковій і релігійній діяльності.

Детальніше зупинимось на силі протилежної спрямованості - силі абсурду. Вона була б непотрібною, якби в кожній галузі діяльності діяла двозначна формальна логіка, в якій кожне висловлювання може бути істинним або хибним, а “третього – не дано”. Наявність досить простих логічних парадоксів показує, що це не завжди так. Не слід сприймати силу абсурду негативно, як таку, що суперечить здоровому глузду, хоча найчастіше – зовнішні її прояви саме такі. Сила абсурду в певному сенсі ускладнює початкову задачу. Ця сила виявляє себе тоді, коли ніхто не чекає певного конкретного факту, оскільки він не узгоджується з попереднім досвідом великої кількості людей. Прояви цієї сили можна помітити також тоді, коли чиясь воля, протидіючи бажанням і сподіванням більшості, досягає успіху всупереч загальноприйнятому поняттю логічного в даній галузі діяльності. Історію відкриттів у багатьох галузях природознавства можна використати як ілюстрацію цієї тези. Варто підкреслити, що ми зовсім не намагаємось показати силу логіки другорядною, ”молодшою сестрою” сили абсурду. Сила логіки виявляє себе постійно, при неперервному, плановому перебігу подій, у той час як сила абсурду діє в екстремальних, непередбачуваних ситуаціях. Як раз тому ці дві сили, взаємно доповнюючи одна одну, забезпечують розвиток кожної галузі діяльності.

Сили гармонії і дисонансу властиві кожній галузі діяльності принаймні тому, що людський фактор вносить значну частину суб’єктивності в розвиток галузі, позитивні зміни в якій інколи досягаються не за рахунок того, що одна задача (локальна ціль) логічно тягне за собою вирішення іншої, а за рахунок того, що окремі індивіди створюють оцінки естетичного характеру, що призводить до суб’єктивного вирішення проблеми “куди рухатись далі”, створюють оцінки корисності чи непотрібності тих чи інших спроб часткового вирішення завдань галузі. Сила гармонії, створюючи оцінки типу “красиве - некрасиве”,“природне – неприродне”, “симетричне – асиметричне”,“впорядковане – хаотичне” в ситуації, коли сила логіки перестає бути ефективною, дозволяє створювати додаткові ознаки наближення до глобальної цілі в ситуації, коли досягнута лише локальна ціль, і немає гарантії того, що ми не віддаляємось від глобальної. Це дозволяє краще використовувати ресурси галузі, втягувати в розвиток галузі кращі сили суспільства, створювати нові локальні цілі в ситуації, коли ніякі інші сили не дозволяють збільшити потенціал для розв’язання глобальних задач.

Механізм дії сили дисонансу аналогічний механізму дії сили абсурду. Необхідність цієї сили випливає хоча б із того, що ніяка галузь не може виробити об’єктивну оцінку потрібності тих чи інших локальних цілей до досягнення відповідних глобальних цілей. Тому, завдяки окремим індивідам з нестандартним розумінням понять красивого, корисного, гармонійного інколи вдається досягти успіху в цій галузі всупереч загальноприйнятим традиціям. Дія сили дисонансу може проявити себе різкою зміною локальних цілей даної галузі діяльності, зміною суб’єктивних оцінок того, що є потрібним у ній, а що - ні.

Як уже можна було помітити вище, сила гармонії не є похідною від сили логіки, бо вона діє в суб’єктивній частині кожної галузі діяльності, тоді як сила логіки найчастіше торкається об’єктивних її сторін. Сила дисонансу також не є похідною від сили абсурду, основною ознакою якої є ускладнення задачі, в той час, як основною ознакою дії сили дисонансу є створення суб’єктивних оцінок задачі, які не є загальноприйнятими, несподіваними для даної галузі діяльності.

Формулювання кожної цілі галузі діяльності вимагає деякого понятійного апарату, тому природно, що досягнення цілі залежить від використаних методів, понять. Зміна термінів дозволяє змінити навчальні засоби, використання яких раніше було неприродним, змінити інтерпретацію кінцевої мети, в інших термінах переформулювати задачу, іншою мовою (науковою чи розмовною), створити нові локальні цілі. Цим можна наблизитись до глобальної цілі або й віддалитись від неї. Цей ефект пояснюється дією сили символу, яка виявляє себе завжди тоді, коли з’являється абстрагуваня, відхилення від первісного розуміння цілі або задачі. Сила символу надзвичайно потужна і може перетворити важку задачу в просту вправу на використання якогось навчального елемента, що стає природним чи можливим після переформулювання початкової задачі в інших термінах чи з використанням інших понять.

На відміну від сили символу, сила тотожності проявляє свою дію тоді, коли зберігається розуміння поставленої цілі конкретною людиною протягом тривалого часу, зберігається розуміння того, що при зміні локальних цілей залишається незмінною глобальна ціль, про що слід пам’ятати. Сила тотожності може також викликати однакове, тотожне розуміння цілі багатьма людьми. Необхідність створення понятійного апарату кожної галузі діяльності викликана саме такими потребами, оскільки силу тотожності неможливо використати, не маючи спільних понять, єдиного розуміння поставленої проблеми. Необхідність цієї сили викликана у першу чергу дією сили символу, бо змінивши мову чи терміни, якими формулюється початкова задача, ми повинні весь час розуміти, що розв’язання утвореної задачі у першу чергу направлене на розв’язання первісної, на досягнення початкової цілі. Ця сила вимагає постійного контролю над тим, чи не віддаляємось ми від початкової умови, наскільки ми наближуємось до відповіді на початкове запитання. Вона змушує до відповіді на запитання “куди ми йдемо”, “чи наближаємось ми до поставленої глобальної цілі”, “чи не з’явилась якась інша, стороння глобальна ціль, досягнення якої також можливе”.

Кожна із сил, розглянутих раніше, своїм наслідком має або деякі зміни, або стабільність, однак це ще не значить, що сили руху і спокою є похідними від цих сил. Потрібно зазначити, що рух (спокій) сам по собі є джерелом рушійної сили кожної галузі діяльності незалежно від того, викликаний цей рух (спокій) конкретною силою, чи ми, абстрагуючись від причин руху, будемо вважати його самодостатньою реальністю. Сила руху проявляється тоді, коли при наявності будь-яких змін у даній галузі діяльності з’являються додаткові внутрішні ресурси, з’являється додаткова інформація, виробляються нові локальні цілі й задачі, чи змінюється розуміння уже відомих задач, зростає енергетичний та інтелектуальний потенціал галузі без видимої дії якоїсь іншої сили. Сила руху, переміщення, змін викликає такі позитивні ефекти тому, що вона дозволяє даній галузі випадково чи закономірно натрапляти на розв’язані задачі і досягнуті цілі інших галузей, у деякому сенсі черпати енергію зовні. Ясно, що такі явища не обов’язково досягаються, але ж використання інших сил також не гарантує бажане при недостатній ефективності цих сил.

Сила спокою, про що вже згадувалося, своєю дією вносить у дану галузь діяльності стабільність, можливість тривалішого, глибшого занурення в проблеми досягнення поставлених локальних цілей, що може призвести до тих же позитивних наслідків. Однак їхня причина полягає в тому, що сила спокою дозволяє відкинути зайві, сторонні проблеми і цілі, які можуть привести галузь у глухий кут, вона дозволяє зберегти існуючі ресурси цієї галузі діяльності, дозволяє отримати критерій просування, наближення до цілі уже тим, що змушує до пошуку найважливіших фактів з умови задачі, змушує замислитись, наскільки ми приблизились до глобальнлї цілі, чи справді ми наблизились до пошуку найважливіших на даний момент змін в умові, до визначення найпотрібніших обмежень серед тих, які з’явились при розв’язанні поставленої задачі. Сила спокою змушує відповісти на надважливе запитання: чи справді відбулось наближення до поставленої глобальної цілі, чи, можливо, відбулось наближення до якоїсь іншої локальної цілі, яка не визначена глобальною.

Кожна галузь діяльності своїм успішним розвитком, розв’язанням важливих задач, а то й досягненням деяких своїх глобальних цілей, змушує інші галузі створювати аналогічні локальні цілі відповідного спрямування. Такі кроки можуть приносити як успіх, так і бути гальмом у розвитку галузі. Протягом тривалого часу галузь може накопичити багато подібних запозичених локальних цілей. Така ситуація може бути контрольованою або – ні, тому є важливим перегляд, повторний аналіз таких локальних цілей. Якщо вдається дати аргументовану оцінку правильності вибору, галузь може отримати новий, додатковий поштовх для свого розвитку, зумовлений дією сили свободи. Ця сила завжди проявляється тоді, коли зникають штучно створені перешкоди розвитку галузі, які протягом деякого часу гальмували, а то й зупиняли його. Найчастіше сила свободи проявляється також тоді, коли є необхідність прийняти рішення про відміну якихось попередніх дій, якщо немає можливості подальшого наближення до поставленої цілі, застосувавши іншу силу.

Дія сили залежності, як двоїстої до сили свободи, має зовсім іншу причину. Наявність спільних або схожих локальних чи глобальних цілей змушує різні галузі діяльності створювати спільні ресурси для їхнього досягнення. Це утворює певні суттєві зв’язки між галузями і викликає силу залежності, зумовлену зростанням потенціалу, спрямованого на розв’язання конкретних задач. Успішна дія цієї сили може призвести або до об’єднання кількох галузей, або до створення нової, цілі якої будуть наслідками досягнутої, або ж відбудуться істотні зміни в розвитку вихідних галузей. Часто сила залежності проявляється тоді, коли є спроба використати досягнення іншої галузі діяльності, використати результати досягнення якоїсь сторонньої глобальної чи локальної цілі.

Звернімо увагу на те, що сила свободи має короткочасний характер дії, а дія сили залежності розтягнута в часі, оскільки вона вимагає нетривіальних оцінок того, наскільки стороння ціль є важливою при досягненні основної, оскільки неможливо раптово виконати об’єднання ресурсів чи досягти спільної цілі, яка раніше здавалась далекою.

6. Сили детермінованого і випадкового

Перелік глобальних і локальних цілей кожної галузі діяльності призводить до того, що її розвиток протягом тривалого часу ними визначається і будь-які досягнення фактично можна передбачити, що робить їх прогнозованими, детермінованими. Можливість такого передбачення є причиною виникнення ще однієї сили - сили детермінованого. Ця потужна сила завжди діє тоді, коли повний чи частковий успіх у розв’язанні деякої задачі можна заздалегідь гарантувати. Потрібно лише виконати якісь конкретні навчальні дії для її завершення, чи скористатись іншими силами, необхідність застосування яких є очевидною. При цьому може виникнути ефект несподіваного досягнення цілі без залучення всіх необхідних ресурсів. Саме такий ефект, завдяки наперед відомому кінцевому результату, спричинений силою детермінованого. Часто сила детермінованого проявляє себе при розв’язуванні класифікаційних задач опису об’єктів, що мають певні властивості, оскільки наявність конкретної, багатократно підтвердженої гіпотези може істотно спростити формальне доведення того, що список шуканих об’єктів є повним. Сила детермінованого проявляється також тоді, коли є підстави вважати, що є додаткова, або навіть повна інформація про можливу відповідь на запитання, поставлені в умові задачі.

На відміну від сили детермінованого, дія сили випадкового ніяк не може бути передбачена, оскільки прогрес у галузі часто досягається за рахунок чинників, поява яких випадкова, не визначається логікою розвитку галузі, не визначається цілями ні даної галузі діяльності, ні якихось інших, суміжних чи віддалених.

Важливою переумовою прояву сили випадкового є наявність однієї або кількох величин, які змінюються і можуть набувати у деякому сенсі довільних значень. Прояв сили випадкового можливий при випадковому збігу обставин, чи при наявності глобальних цілей, які ще ніким не сформульовані, або їхній вплив на досягнення даної глобальної цілі не є очевидним, непередбачуваним. Дія цієї сили, якщо вона помічена, має значний вплив на розвиток даної галузі, інколи вона дозволяє утворювати нові глобальні цілі, і, отже, створювати, можливо, нову галузь діяльності.

Є певна аналогія в проявах сил логіки-абсурду, гармонії-дисонансу, символу-тотожності, руху-спокою, свободи-залежності, детермінованого-випадкового. Сили логіки, гармонії, тотожності, спокою, залежності, детермінованого виявляються і діють постійно, тоді як сили абсурду, дисонансу, символу, руху, свободи, випадкового з’являються в перехідні моменти, їхня дія спрямована на створення нового розуміння, нових оцінок локальних, чи створення нових глобальних цілей галузі діяльності.

7. Сили узагальнення і конкретизації

Кажучи про якусь галузь діяльності, ми не повинні забувати, що, об’єднавши глобальні цілі кількох різних галузей, ми утворимо нову галузь, яка, можливо, не представлятиме ніякого інтересу, крім того, що таке можна собі уявити. Однак інколи, особливо тоді, коли дві чи більше галузей мають принаймні одну спільну ціль, бодай навіть локальну, згадане вище об’єднання може призвести до цікавих наслідків. У новому утворенні природно з’являться нові локальні цілі, будуть автоматично розв’язані деякі важливі задачі кожної з первісних (до об’єднання) галузей. Можливо навіть, що утворена після такого, здавалося б штучного кроку галузь, почне самостійно розвиватись. Причиною такого явища може бути дія сили узагальнення. Ця сила завжди проявляється тоді, коли після об’єднання ідей, ресурсів на “руїнах” кількох галузей діяльності виникає одна, цілі якої – оновлені цілі початкових, або ж у кожній з галузей за рахунок об’єднання ресурсів відбувається стрімке просування в напрямку досягнення їхніх глобальних цілей.

Сила конкретизації, як двоїста до сили узагальнення, виявляє себе при спробі розбити кожну галузь на дрібніші, відповідно до принципу “одна ціль – одна галузь”.Таке подрібнення може відбутись тільки в нашій уяві, бо “нові” галузі не будуть життєздатними, вони не зможуть розвиватись самостійно через брак ресурсів, відсутність незалежних локальних цілей, наявність понятійного апарату. Однак інколи після такого подрібнення з’являється хоча б одна самостійна галузь, яка, відірвавшись від первісної, може розпочати власний розвиток, сформулювавши оновлену глобальну ціль, доповнивши її, можливо, глобальними цілями інших галузей діяльності, які раніше здавались далекими, співіснування з якими раніше здавалось неприродним. Такий ефект і є наслідком дії сили конкретизації. Ця сила здатна породжувати нові галузі діяльності шляхом виокремлення їх з існуючих, створювати нові локальні цілі, спрямовані на досягнення глобальних цілей новоутвореної галузі, знаходити зв’язки між нею і тими галузями, які раніше не мали з початковою ні спільних ресурсів, ні спільних ідей. Досить часто сила конкретизації використовується тоді, коли виникає потреба розчленити важку задачу, розв’язання якої було неможливим протягом тривалого часу, на простіші задачі. Тоді локальні цілі початкової галузі перетворюються в глобальні цілі нової галузі, істотно змінюючи їх зміст. Чи змінююється понятійний аппарат оцінки того, наскільки ми наблизились до нової цілі, наскільки ефективними є дії, напрямлені на досягнення локальної або глобальної цілі нової галузі діяльності.

Звернімо увагу на те, що сили конкретизації і узагальнення, на відміну від сил, розглянутих раніше, спрямовані на зв’язок даної конкретної галузі з іншими, тобто на міжгалузеві зв’язки.

Як виявиться далі, ці сили істотно відрізняються від решти не тільки формально, а ще й тому, що передбачити їхню активізацію достатньо складно, вони не спричиняються попередніми силами, поява цих двох сил має щонайбільш суб’єктивну причину. Ці дві сили активізуються тоді, коли прийнято рішення про те, що дана локальна чи глобальна ціль визнається майже “безнадійною” і подальші способи її досягнення неможливі без створення нової галузі діяльності, напрямленої саме на цю ціль. Ясно, що уміння саме так створювати нові галузі діяльності беззаперечно є ознаками якості, яка в сучасному суспільстві оцінюється або дуже високо, або ніяк не оцінюється, у залежності від досягнутого успіху. Решта дванадцять рушійних сил значно простіші як при застосуванні, так і в оцінці ситуації, коли якусь із них потрібно активізувати.

Поява нової галузі діяльності, основна (основні) ціль (цілі) якої утворена після застосування сили узагальнення чи конкретизації і може бути досягнена чи відбудеться наближення до неї завдяки використанню перших дванадцяти рушійних сил виховання. Тому найзагальніша схема успіху при розв’язанні будь-якої задачі, проблеми виглядатиме так:

1. створюються глобальні цілі галузі діяльності;
2. створюються локальні цілі – спрощені етапи досягнення глобальних цілей;
3. використовуються перші дванадцять рушійних сил, напрямлених на досягнення локальних цілей або на створення нових локальних цілей з подальшим їх досягненням;
4. використовуються сили узагальнення чи конкретизації для створення нових галузей діяльності методом глобалізації однієї чи кількох раніше утворених локальних цілей;
5. перехід до етапу (1) – до етапу створення глобальних цілей нової галузі діяльності.

Обговоренню вказаних вище проблем і присв’ячена друга частина даної роботи.

Сказане у першій частині є спробою створити нову галузь діяльності, навчальні процеси якої напрямлені на формування навичок використання рушійних сил виховання у конкретних задачах тоді, коли самі сили вже відомі [3], а виховні процеси мають за мету формування загальних принципів пошуку того, якими саме силами потрібно скористатись.

Не зовсім ясно, чи гарантує успіх використання сил при розв’язуванні незнайомих задач, особливо задач, про які невідомо, чи вони взагалі якось розв’язуються. Можна лише зробити висновок: є підстави створити нову галузь діяльності, навчальні елементи якої полягають у вміннях використати наперед вказану рушійну силу.

Маючи скінченний список основних сил, у якому їх всього чотирнадцять, ми впевнені, що застосування однієї із сил наближає до цілі. Це можна пояснити у першу чергу тим, що розв’язання кожної задачі полягає у вдалій постановці допоміжних запитань і знаходженні відповідей на них. Кожна така сила використовується для звуження напрямку, в якому потрібно діяти, щоб ефективно наблизитись до даної локальної цілі. А перелік основних сил, по суті, є повною, але досить грубою класифікацією всіх можливих напрямків.

Це істотний момент, оскільки немає критерію того, чи наближаємось ми до цілі, використовуючи якусь силу, використання цієї сили не наближує до успіху, чи, у найгіршому випадку, дія сили ускладнює поставлену задачу і віддаляє нас від успіху, від цілі.

Усунути недолік неможливо без усвідомлення суті процесу виховання у новоствореній галузі діяльності.

Для кожної із дванадцяти основних рушійних сил (без сил узагальнення і конкретизації) далі будуть указані ознаки задачі, наявність яких є передумовою використання відповідної сили. Помітивши якусь ознаку задачі, ми вказуємо на діючу силу, що виявляє себе в новій “метадіяльності” – діяльності активізації рушійних сил, спричиняючи дію відповідної сили, указаної у підзаголовку, у зовнішній (початковій) діяльності.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

1.1. Наявність фактів, між якими є явний логічний зв’язок (сила логіки).

Це – пряма вказівка на можливість використання сили логіки – найпростіший спосіб її активізації. Помітивши певний логічний зв’язок між фактами з умови задачі, чи між уже отриманими раніше наслідками з них, потрібно здійснити спробу активізації саме сили логіки.

Вибір навчального елемента найчастіше здійснюється під дією сили логіки: якщо він є найоптимальнішим, найефективнішим при розв’язуванні задачі, саме цей елемент і потрібно використати, однак оптимальність чи ефективність може визначатись і тим, що цей елемент є найкрасивішим, найефектнішим, найбільш симетричним, тому саме сила гармонії може активізувати силу логіки.

1.3. Можливість виявити прихований логічний зв’язок між елементами умови задачі (сила спокою).

Наявність прихованого логічного зв’язку – цілком природна ситуація. Цей

зв’язок можна виявити, активізувавши силу логіки, якщо поставити перед собою принаймні запитання про те, що в умові задачі є найголовнішим, що є важливим, а що – другорядним, а саме так і діє сила спокою.

1.4. Наявність в умові суперечливої, неузгодженої інформації (сила абсурду).

Наявність таких особливостей задачі вимагає додаткових зусиль для усунення

суперечностей чи відшукання способів узгодження кількох розрізнених фактів. Щоб добитись цього якраз і можна, активізувавши силу логіки.

1.5. Необхідність чи можливість логічного перебору (сила руху).

Багатоваріантність задачі можна усунути далеко не єдиним способом. Якщо є

можливість змінювати наявну інформацію, здійснюючи логічний перебір, тобто розглядаючи істинність чи хибність кожного із кількох факторів умови задачі, це потрібно здійснити, скориставшись силою логіки.

1.6. Необхідність логічного пояснення деякого несподіваного збігу обставин

Несподіваний збіг обставин можна використати, не вникаючи в причини його появи і тоді діятиме сила випадкового. Однак, активізувавши силу логіки, можна спробувати пояснити такий збіг, щоб далі мати змогу скористатись ще якимимсь силами.

Сила свободи не завжди активізується після вказаних вище дій. Вони можуть активізувати силу логіки, яка дозволить отримати логічно обгрунтовані висновки, які або змінять задачу, або покажуть, що відмова від деякої інформації не призводить до бажаного результату.

Переформулювання умови задачі в інших термінах чи на іншій мові, повинне дістати логічну підтримку. Для цього необхідно активізувати силу логіки, отримати наслідки вказаних змін в умові, що може або дати нову інформацію про задачу, або, в разі неуспіху, активізує якісь інші сили.

Сила залежності активізує силу логіки при появі зовнішньої схожості двох різних задач. У цій ситуації сила логіки створить об’єктивні аргументи для того, щоб прийняти рішення про використання сили залежності або відмову від неї.

Наявність інформації про кінцевий результат не завжди дозволяє змінити умову задачі на краще. Тоді, активізуючи силу логіки, потрібно дістати логічні наслідки з відповіді до задачі, і, можливо, саме вони дозволять покращити задачу чи змінити її умову.

Сила тотожності, яка змушує відповісти на запитання “Чи наблизились ми у процесі розв’язання задачі до відповіді на початкове запитання ?”, не обов’язково проявитьтся негайно. У цій ситуації активізація сили логіки може спричинити наслідки, які або дадуть непрямі свідчення про досягнення успіху, або створять нову інформацію відносно початкової задачі, з якої і випливатиме позитивна чи негативна відповідь на поставлене запитання.

Суб’єктивна оцінка щодо необхідності використання тих чи інших навчальних елементів, чи оцінка наслідків виконаної роботи, повинна дістати логічне обгрунтування в ситуації, коли не видно безпосередньої дії сили дисонансу. Якщо проявиться дія сили логіки, суб’єктивна оцінка типу “красиве – некрасиве” змусить нас або перейти до сили гармонії (якщо нетрадиційна оцінка матиме чіткі логічні наслідки), або відмовитись від даної суб’єктивної думки.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

2.1. Можливість введення змінного параметра замість якогось відомого

У багатьох випадках заміна сталої величини на змінну призводить до

істотного ускладнення задачі, однак у деяких випадках позитивним наслідком такої дії є активізація сили абсурду.

2.2. Можливість відшукання передісторії задачі – можливість рухатись

Нічого абсурднішого, ніж рух у протилежному від бажаного напрямку, при потребі досягти деяку ціль – немає. Тому відшукання передісторії, тобто відшукання задачі, наслідком якої є дана, це пряма вказівка на використання сили абсурду.

2.3. Можливість введення нового невідомого задачі, повна чи неповна

Коли задача ускладнюється введенням однієї або й кількох нових невідомих величин, змінюється умова задачі, відбувається переформулювання початкової задачі з урахуванням нових понять. У цій ситуації найприроднішою є активізація сили символу, однак може активізуватись і сила абсурду, бо саме ускладнення задачі є основною ознакою цього.

2.4. Можливість використання деякого навчального елементу, незважаючи

Застосування деякого навчального елемента може спростити задачу (якщо

проявиться сила залежності) або ускладнить її. В останньому випадку природно скористатись силою свободи, щоб повернутись до початкової ситуації, однак іноді це непотрібно робити, бо ускладнення задачі може активізувати силу абсурду.

2.5. Доведення або розгляд задачі від супротивного (сила детермінованого).

Відомий метод доведення від супротивного полягає у тому, що, отримавши під дією сили детермінованого упевненість у правильності деякого твердження, ми припускаємо правильність його заперечення, і абсурд, отриманий після прийняття такого припущення, є аргументом за правильність початкового твердження.

2.6. Можливість ускладнення задачі за рахунок відмови від деяких фактів із

Вилучення з умови деяких даних, як правило, ускладнює задачу, однак, якщо ці дані заважали побачити істотне в умові, така дія сили свободи може активізувати силу абсурду і задача стане простішою від початкової.

Використання логіки при вивченні умови задачі може показати, що якийсь факт із умови не вписується в деяку загальну логічну схему міркувань, і ускладнити задачу, вилучивши з умови саме цей факт, а це може активізувати силу абсурду.

Наявність в умові задачі деякого елемента симетрії, який, за деякими ознаками, істотно відрізняється від решти, може активізувати силу абсурду, що дозволить ускладнити задачу вилученням з умови тих фактів, які створюють саме цей елемент симетрії.

Можлива ситуація, коли існують задачі, наслідком кожної із яких є початкова, однак жодна із таких задач не має повного розв’язку. Тоді початкову задачу можна ускладнити вилученням деяких фактів з умови, щоб принаймні одна із нових задач стала рівносильною початковій.

Можна ускладнити початкову задачу, активізувавши силу абсурду розглядом задачі, основою якої є найважливіший факт початкової і ігноруючи решту основних фактів з умови.

Задачу можна ускладнити, випадково позбувшись якихось фактів з умови і утворити нову задачу, наслідком якої є початкова. Якщо активізується сила абсурду, можна досягти успіху.

Задачу можна ускладнити, акцентувавши увагу на якомусь несиметричному ефекту початкової задачі. Силу абсурду можна в такий спосіб активізувати, якщо спробувати пояснити таку асиметрію.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

1. Наявність в умові задачі симетрії (сила гармонії).

Це створює можливість під дією сили гармонії, зберігаючи знайдену симетрію умови, активізувати цю саму силу гармонії для розв’язання початкової задачі. Вказана ситуація – пряма вказівка на використання цієї сили.

3.2. Можливість виявлення прихованої симетрії (сила спокою).

Інколи задача містить приховану гармонію, виявити яку і активізувати тим самим силу гармонії можна, відповівши на запитання, що в умові задачі є основним, найголовнішим, а що – стороннім. Якраз відкидання, вилучення зайвих у деякому сенсі фактів з умови може сприяти появі прихованої симетрії.

Використання навчальних елементів може змінити симетрію. Тому потрібно спочатку підібрати (можливо, перебором) навчальні елементи, які симетрії задачі принаймні не зменшують.

3.4. Можливість переформулювання умови задачі, що покращує її вигляд

Переформулювання умови задачі може активізувати кілька різних сил, бо саме так і діє сила символу. У тому числі, може активізуватись і сила гармонії – за рахунок покращення суб’єктивного сприйняття красоти умови задачі.

5. Можливість використання аналогії (сила залежності).

При розв’язанні задачі це може активізувати силу гармонії, бо, по-перше, симетрія у іншій, хоча б частково аналогічній задачі, проявляється і в даній задачі; по-друге, з’являється нова, неіснуюча до цього моменту симетрія – аналогія між різними задачами.

6. Можливість логічно обгрунтованого висновку (сила логіки).

Це може викликати силу гармонії, яка може проявитись тоді, коли активізуються внутрішні ресурси за рахунок емоційного, психологічного піднесення індивіда, що відбуваються за рахунок усвідомлення краси подібного висновку.

7. Впорядкування фактів з умови задачі (сила детермінованого).

За рахунок інформації про кінцевий результат може активізуватись сила гармонії, яка дозволить знайти природне, гармонійне місце кожному із фактів у процесі досягнення кінцевого результату, найти нову симетрію задачі відносно цього процесу.

8. Внесення в задачу неіснуючих елементів симетрії (сила абсурду).

Якщо прийняти рішення про існування симетрії, існування якої завідомо не випливає з умови і якої насправді не існує, можна штучно активізувати силу гармонії, прояв якої призведе до успіху незалежно від того, була така симетрія в початковій задачі, чи не було.

9. Вгадування неочевидної симетрії (сила випадкового).

Активізація сили гармонії у цій ситуації може бути непрямим свідченням того, що вгадана симетрія є насправді, це може бути причиною того, щоб здійснити пошук того, як саме вгадана симетрія випливає з умови, а це може бути причиною покращення умови задачі.

10. Зменшення симетрії задачі (сила свободи).

Деякі елементи симетрії можуть бути причиною ускладнення розв’язку задачі, оскільки не кожна задача розв’язується з використанням усіх видів симетрії, які їй властиві,тому відмова від них може бути причиною повторної активізації сили гармонії в спрощеній ситуації, а це зробить розв’язання задачі простішим.

11. Збільшення елементів симетрії після часткового розв’язання задачі (сила тотожності).

Якщо при просуванні до цілі утворилась додаткова інформація, ми повернемось до усвідомлення початкової цілі, використавши силу тотожності, може з’явитись нова симетрія, використання якої активізує силу гармонії в оновленій ситуації.

12. Відмова від симетрії (сила дисонансу).

Не завжди симетрія задачі може спростити просування до кінцевого результату, задача може бути частиною іншої, зовсім несиметричної на перший погляд, задачі. Відмовившись від знайденої симетрії, ми можемо скористатись силою гармонії в перетвореній задачі, наперед знаючи про її приховану симетрію.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

4.1. Можливість отримати додаткову інформацію порушенням симетрії

Порушення симетрії може активізувати силу дисонансу, якщо задача отримує власну індивідуальність, що виділяє її з поміж інших задач із аналогічною симетрією. Така особливість умови задачі є прямою вказівкою на використання сили дисонансу.

4.2. Можливість нагромадженням інформації створити додаткову симетрію

Кожна спроба переформулювання умови в інших термінах, вдала чи ні, надає певну нову інформацію про задачу. Таке нагромадження фактів навряд чи може її покращити, однак може активізувати силу дисонансу, яка допоможе створити нову симетрію задачі.

3. Можливість використати іншу силу після порушення гармонії (сила

руху).

Порушення гармонії, тобто відмова від прямого використання цієї сили дає можливість скористатись кожною з інших сил, однак активізація сили дисонансу є найбільш природньою в цій ситуації.

4. Можливість погіршенням формулювання умови задачі створити

Можливість звернути увагу на якийсь неприродний факт із умови задачі може активізувати силу дисонансу тим, що так само неприродно, але ефективно може бути використано деякий навчальний елемент.

4.5. Можливість відмови від природного способу розв’язання задачі (сила свободи).

Здавалось би, неприродний спосіб розв’язання задачі може призвести до непередбачуваних ускладнень. Однак навіть сама спроба діяти неприродним шляхом може покращити задачу після активізації сиди дисонансу.

4.6. Можливість завершити задачу громіздкими логічними міркуваннями

Сила логіки буває настільки потужною, що нею можна скористатись навіть тоді, коли немає природної необхідності її використання. Це проявляється тому, що активізується сила дисонансу, яка є своєрідним каталізатором ефективного використання сили логіки.

Після використання сили тотожності може з’явитись кілька рівносильних переформулювань початкової задачі, з яких однебуде відрізнятись від інших своєю громіздкістю, несиметричністю, незграбністю. Саме його слід вибрати для подальшого дослідження, активізуючи силу дисонансу.

Якщо пошук найважливішого факту з умови задачі не дає можливість віддати перевагу одному із них, для активізації сили дисонансу потрібно вибрати найменш симетричний, найнезграбніший.

Наявність інформації про відповідь задачі не завжди вказує на який-небудь шлях її досягнення. Вибір найнекрасивішої інформації з найменшою симетрією, може активізувати силу дисонансу, що дозволить досягти успіху саме у цьому непередбачуваному напрямку.

Випадковий пошук інформації вимагає критерію зупинки, тобто правила, за яким приймається рішення про припинення пошуку, про додатковий аналіз отриманих даних. Одним із критеріїв може бути порушення гармонії, порушення симетрії, бо така ситуація активізує силу дисгармонії.

Ускладнення умови задачі може створити умови активізації сили дисонансу, бо природним наслідком порушення логічного розвитку подій при досягненні цілі є створення нестандартних оцінок потрібності таких ускладнень.

Поява кількох шляхів розв’язку задачі завдяки наявності різних елементів симетрії у ній може створити проблему як саме віддати перевагу одному з них.

Активізувавши силу дисонансу, будемо надалі працювати з тим елементом симетрії, який створює найбільше труднощів естетичного характеру.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

5.1. Наявність деякого навчального елемента, що дозволяє

Один із способів переформулювати умову – використати якийсь із навчальних елементів. Тому залежність саме від нього може активізувати силу символу.

5.2. Неповна інформація про об’єкти з умови задачі (сила випадкового).

Неповнота інформації змушує принаймні поставити запитання про усунення такого недоліку. Вибравши випадково якийсь із об’єктів умови задачі, потрібно поставити запитання, чи не з’явиться додаткова інформація, якщо активізувати силу символу, направивши її дію саме на цей об’єкт чи факт із умови задачі.

5.3. Можливість створення проміжної локальної цілі вилученням частини

Вилучення частини умови задачі є неприродною дією, що може активізувати силу абсурду, однак може статись так, що утворену при цьому задачу можна переформулювати, активізувавши силу символу, розв’язати її, а це спростить досягнення початкової цілі.

5.4. Можливість розбиття розв’язку задачі на кілька етапів (сила руху).

Якщо задача допускає розбиття на кілька проміжних, виникає можливість поступового, поетапного наближення до цілі, отже, в ситуації, коли переформулювати в інших термінах всю задачу неможливо, така можливість може виникнути принаймні на якомусь із етапів і саме на ньому активізується сила символу.

5.5. Можливість введення нового поняття на основі умови задачі (сила

При пошуку найістотніших, найважливіших фактів із умови, може виникнути можливість створити нове поняття для спрощення формулювання задачі. Така дія якраз і активізує силу символу, бо на основі утвореного нового поняття може виникнути новий підхід до розв’язування задачі.

5.6. Наявність в умові задачі інформації з інших відомих локальних цілей

Такі ознаки задачі – пряма вказівка на використання сили символу, оскільки інші, вже розв’язані задачі можуть бути засобом переформулювання даної задачі в інших термінах – у термінах, що використовуються в допоміжній задачі.

Логічний аналіз умови задачі чи міркування, напрямлені на наближення до цілі, можуть бути передумовами появи нового поняття, яке раніше не було природним чи логічним для цієї задачі.

Помічену в задачі симетрію не завжди просто сформулювати, може здаватись, що вона є, але суть вислизає через відсутність потрібного слова чи терміну. Інколи для усунення такої проблеми приходиться вводити нове поняття, що може активізувати силу символу.

При застосуванні сили свободи завжди з’являється деякий вакуум, коли вражає відсутність можливості подальшого просування до цілі. Це може активізувати силу символу, щоб перекласти умову задачі на іншу мову, чи використати якесь нове поняття або термін.

Повернення до початкової умови задачі після того, як було досягнено певного успіху в її розв’язанні, може активізувати силу символу тим, що з нової точки зору ми побачимо відому інформацію і виникне необхідність переформулювати задачу з урахуванням цього.

Додаткова інформація про кінцеву мету може сприяти розв’язанню задачі, якщо активізувати силу символу і відповісти на запитання у яких термінах, з використанням яких понять найпростіше досягти відомої цілі.

Прийняття рішення про потрібність якоїсь незвичної оцінки факту з умови, нестандартної дії чи перетворення задачі з порушенням її симетрії може бути обгрунтованим, якщо вдається активізувати силу символу. Така активізація сама по собі покаже що зміна суб’єктивної оцінки потрібна, оскільки вдвається активізувати силу символу незалежно від того, сприятиме ця сила безпосередньо прогресу чи ні.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

6.1. Можливість отримання із умови наслідку, рівносильного початковій

Силу тотожності можна активізувати для того, щоб встановити, чи не буде задача, отримана з початкової, рівносильною початковій. Якщо це встановити тільки засобами логіки, сила тотожності може підказати шлях, спосіб переходу від отриманої задачі до початкової.

6.2. Наявність в умові задачі розрізненої, випадкової інформації (сила

Вказана вище ознака задачі може активізувати силу тотожності для того, щоб встановити, буде перед нами одна і та сама задача, чи ми маємо справу з кількома, слабо пов’язаними між собою.

6.3. Поява інформації, яка є відповіддю до певної задачі, що не має

Використання сили руху завжди вимагає активізації сили тотожності, щоб при систематизованих чи випадкових змінах, трансформаціях, переборах вчасно зупинитись і помітити, що нова задача має відношення до початкової.

6.4. Необхідність перевірки того, чи буде трансформована задача

Перефомулювання умови досить часто призводить до заміни понять і цілей даної задачі на поняття і цілі задачі, трансформованої з неї під дією сили символу. Тому це – найприродніший спосіб активізувати силу тотожності.

6.5. Необхідність уточнення означень тих понять, які використані в умові

Сила спокою може призвести до висновку про те, що терміни і поняття, використані при невдалому розв’язуванні задачі, неправильно або неточно сформульовані чи інтерпретовані, тому потрібно активізувати силу тотожності, щоб встановити, наскільки неправильно зрозумілі терміни віддалили дану задачу від утвореної, наскільки близькі отримані висновки з поставленою раніше ціллю.

6.6. Необхідність встановити несуперечливість умов задачі (сила

В певному сенсі тут виникає потреба встановити тотожність задачі самій собі. Така необхідність виникає тоді, коли виникають деякі логічні проблеми при розв’язуванні задачі. Встановлювати несуперечливість умови потрібно завжди, тому маємо пряму вказівку на активізацію сили тотожності, однак на практиці здійснити задумане буває важко.

Неспланована поява несиметричності, порушення гармоії в задачі, яка мала відповідні ознаки раніше, може активізувати силу тотожності, щоб зрозуміти, наскільки нова задача дозволяє розв’язати початкову.

Непередбачена поява симетрії може активізувати силу тотожності для того, щоб зрозуміти чи не було допущено помилку, чи не було втрачено якусь інформацію з умови задачі, чи буде утворена задача потрібною для розв’язання початкової.

Відома інформація про кінцевий результат може активізувати силу тотожності для того, щоб встановити, яка саме проміжна задача може мати такі самі наслідки, до якої саме проміжної цілі можна звести початкову задача.

Якщо для покращення даної задачі використано якийсь навчальний елемент чи якусь схожу відому задачу, і не вдається оцінити, наскільки такі дії наближають нас до початкової цілі, можна активізувати силу тотожності, щоб встановити, чи немає проміжної локальної цілі, досягнення якої вже стало можливим.

Вилучення з умови задачі деякого непотрібного, зайвого факту може спростити її, однак потрібно активізувати силу тотожності, щоб вияснити, чи матиме утворена нова задача, можливо навіть самоцінна, одним із своїх наслідків – початкову задачу, чи вийде все-таки досягти початкову ціль.

Ускладнення задачі, певні дії всупереч загально прийнятій логіці, використані для розв’язання задачі, повинні супроводжуватись активізацією сили тотожності, щоб мати впевненість у тому, що такі дії мають принаймні якесь відношення до початкової цілі, не заперечують її повністю.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

7.1. Необхідність здійснити перебір варіантів (сила логіки).

Логічний перебір можливостей може призвести до прояву сили логіки, якщо такий перебір вдається, принаймні частково, завершити. Однак такими змінами можна активізівати силу руху, яка проявить свою дію незалежно від того, досягнено успіху, чи ні.

7. 2. Можливість змінами в умові отримати повну чи неповну інформацію

Уже сама ідея отримання додаткової інформації про можливу відповідь до задачі може призвести до успіху. Його можна досягти, активізувавши силу руху, направлену на якісь зміни в умові задачі.

7. 3. Можливість отримання додаткової інформації зміною деякого

Така можливість – пряма вказівка на активізацію сили руху.

7.4. Можливість повторення навчального елемента, яке дає додаткову

Коли застосування навчального елемента наближає (за деякими ознаками) до цілі, з’являється природна ідея про можливість повторного використання цього елемента. Таким чином, залежність від навчального елемента активізує силу руху.

7.5. Можливість одержати наслідок із якогось одного з багатьох фактів

Одержання висновку з деякого випадково взятого факту з умови може бути проявом сили випадкового. Однак це може активізувати й силу руху, направлену на будь-які зміни в задачі.

7.6. Можливості використати певні зміни в умові задачі, щоб створити

передумови використання іншої сили (сила свободи).

При неможливості використати досягнуті зміни в задачі, сила свободи спричиняє відмову від досягнутого. Якщо це станеться кілька разів, може активізуватись сила руху.

При пошуку найважливіших фактів з умови задачі з метою активізації сили спокою єдиним засобом є перебір. При достатньо тривалому процесі перебору може активізуватись сила руху, незалежно від того вдалось активізувати силу спокою, чи ні.

Кожна спроба використати іншу мову, переформулювання умови задачі, використання нового поняття чи терміну автоматично активізує силу руху, оскільки під час такого достатньо тривалого процесу вже відбуваються зміни в умові задачі.

Кожна спроба активізації сили тотожності має на меті встановити, наскільки зміни в задачі наблизили нас до поставленої цілі. Якщо ціль не досягнута, виникає потреба у деякому сенсі “зрушити з місця”. Найкращий спосіб –активізувати силу руху, виконавши довільні зміни в задачі.

Встановлення факту наявності або появи нової симетрії в задачі активізує силу руху вже тим, що виникає потреба згадати всі навчальні елементи, пов’язані з подібними елементами симетрії, діяти по аналогії з розв’язками інших задач, що мають таку ж симетрію, згадати, чи не з’явились автоматично нові елементи симетрії, породжені уже знайденими.

Порушення гармонії нагромадженням інформації може активізувати силу руху з метою відшукання нових шляхів розвитку, прогресу за допомогою перебору наявних фактів.

Ускладнення умови задачі, заміною задачі на загальнішу, наслідком якої є початкова, вже є рухом у протилежному напрямку. Активізація сили руху відбудеться тоді, коли такі дії виконані кілька разів з метою встановити важливість даної задачі для розв’язання близьких, визначити зв’язки між ними.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

8.1. Відсутність безпосереднього зв’язку між різними фрагментами умови

Прямий перебір з метою виявлення зв’язків між різними фрагментами задачі може бути проявом сили руху, однак наявність багатьох неістотних зв’язків може ускладнити її використання, активізуючи силу спокою з метою виявлення найважливішої інформації в умові задачі.

8.2. Можливість фіксації проміжного результату, що з’являється при використанні навчального елемента, відмова від завершення використання цього елемента (сила дисонансу).

При використанні навчального елемента варто завжди задумуватись над тим, чи не має самоцінності деякий таким чином отриманий проміжний факт. Слід уявляти можливість відмови від продовження дій, якщо є ознаки неприродності. Отримане при цьому досягнення може активізувати силу спокою, якщо проміжний факт справді є важливим, потрібним за деякими ознаками.

8.3. Можливість виявлення в умові задачі найважливішої інформації (сила спокою).

Така можливість є прямою вказівкою на активізацію сили спокою.

Буває непросто встановити, як саме шукати найважливішу інформацію в задачі, щоб скористатись силою спокою. Тут і може допомогти сила гармонії: спрощення задачі, чи поява в ній симетричних елементів є ознакою того, що силу спокою потрібно активізувати саме в цьому напрямку.

8.5. Наявність в умові задачі фактів, які не впливають на її розв’язання

У ситуації, коли ціль досягнута, інколи можна помітити, що деякі факти з умови не використовувались при розв’язуванні задачі. Ясно, що від них потрібно звільнитись. Це може активізувати силу спокою, яка дозволить оцінити важливість використаних методів, створити нову задачу з простішою, ніж початкова, умовою, зрозуміти роль поміченого явища у загальному розвитку галузі діяльності.

8.6. Наявність в задачі суперечливих висновків (сила абсурду).

Ясно, що поява суперечності при постановці, чи при розв’язуванні задачі – дуже неприємна річ. Потрібно встановити, що саме призвело до суперечності, чи насправді суперечність істотно впливає на досягнення розв’язку, чи,можливо, вона має у деякому сенсі лінгвістичний характер і її причиною є не суттєві зв’язки між фактами, а лише недоліки передачі інформації. Вказані обставини – фактори, що активізують силу спокою, дія якої і може зняти суперечність, яка виникла.

Логічні міркування, використані при розв’язуванні задачі, не завжди призводять до успіху, оскільки вони можуть ускладнити можливість аналізу отриманої інформації. Активізувавши силу спокою, можна відшукати найістотніші факти, отримані такими міркуваннями.

Нявність інформації про відповідь задачі може мати більший вплив на подальші дії, якщо активізувати силу спокою з метою встановити, які саме відомості про кінцевий результат найважливіші або дозволяють найпростіше досягти успіху.

Пошук випадкових аналогій між даною задачею і сторонніми чи пошук відповіді на запитання наскільки випадковим може бути збіг обставин, вказаних в умові задачі, вимагає активізації сили спокою, щоб встановити момент зупинки, тобто вияснити, який саме збіг обставин є вирішальним.

Можливість різних переформулювань умови задачі, можливість використання різних нових понять активізує силу спокою, щоб встановити, який саме підхід є ефективним, у певному сенсі – найкращим.

Використання різноманітних навчальних засобів чи висновків і прийомів з інших задач може активізувати силу спокою, якщо не очевидно, наскільки ефективною є виконана дія. Така активізація може встановити, яки саме підхід – найкращий.

Якщо вдається багатьма способами наблизитись до початкової цілі, однак неясно, який саме спосіб найефективніший, потрібно активізувати силу спокою, щоб відшукати додаткові аргументи на користь якогось із них.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

9.1. Наявність в умові задачі інформації, що вимагає використання деякого

Спроба скористатись навчальним елементом, використання якого здається необхідним, може погіршити задачу (у якомусь розумінні). Це має активізувати силу свободи, щоб звільнитись від деяких, можливо посторонніх, фактів із умови задачі.

9.2. Наявність в трансформованій умові задачі ознак віддалення від

Використання деяких сил для перетворень задачі може призвести до появи логічно аргументованих ознак віддалення від бажаного результату, активізуючи силу свободи, яка дозволить прийняти рішення про відмову від деяких перетворень, чи навіть відмови від деяких фактів із умови, що призвели до таких перетворень.

9.3. Наявність в умові задачі фактів, що не піддаються аналізу (сила випадкового).

Наявність таких фактів може свідчити про недостатню інтенсивість певних зусиль, однак можна розраховувати на дію сили випадкового, тобто розраховувати на те, що відмова від цих фактів, або перенесення їхнього розгляду на майбутнє, активізує силу свободи і задача спроститься.

9.4. Наявність в умові аналогії із задачею, навчальні елементи якої не

Тут може виникнути необхідність звільнитись від аналогії, від подібності двох задач за ознакою, неістотною для даної задачі. Активізація сили свободи може допомогти помітити інші, важливіші аналогії чи ознаки даної задачі.

9.5. Близькість, але не співпадання заданої інформації з відомими

Тут міститься пряма вказівка на використання сили свободи, оскільки від ілюзій, пов’язаних із неправильним розумінням означень понять слід звільнитись у першу чергу.

9.6. Зникнення симетрії без ознак наближення до відповіді (сила дисонансу).

Спроба порушення симетрії може не призвести до індивідуалізації задачі і є ознакою того, що не відбувається наближення до відповіді, тобто того, що дія сили дисонансу не є ефективною. Такі наслідки можуть активізувати силу свободи, щоб прийняти рішення про неістотність розглянутої симетрії.

Поява фактів, що суперечать один одному і не дозволяють скористатись іншою силою для досягнення успіху, змушують активізувати силу свободи, щоб відкинувше зайве, усунути суперечність або помітити зв’язок між, на перший погляд, суперечливими фактами.

Наявність різних інтерпретацій задачі, жодній із яких не можна віддати перевагу, може активізувати силу свободи, що дозволить за певними ознаками відмовитись від деяких із задач, рівносильних початковій.

Наявність багатьох різнопланових додаткових фактів про відповідь може зашкодити успіху через великий об’єм необхідної роботи. Щоб позбавитись цього, потрібно активізувати силу свободи, відкинувши частину інформації.

Під час перебору варіантів чи при отриманні часткових результатів задачі можна активізувати силу свободи, яка принаймні змусить задуматись, які отримані висновки не варто враховувати, а які будуть істотними для подальшого наближення до початкової цілі.

Наявність великої кількості аналогічних задач, кожна із яких не призводить до успіху або можливість використання багатьох елементів навчання без видимого прогресу змушує активізувати силу свободи, щоб звільнитись від сторонньої інформації.

Якщо виявиться, що деякі перетворення початкової задачі призводять до утворення іншої задачі, яка не є рівносильною початковій і з розв’язання якої не випливає розв’язання початкової, активізувавши силу свободи, ми відмовимось від таких перетворень.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

10.1. Наявність відомої задачі, схожої за формальними ознаками на дану

Пряма вказівка на використання сили залежності – найпростіший спосіб

активізації цієї сили.

10.2. Існування підзадачі, яка допускає повне розв’язання (сила спокою).

Пошук найважливішої інформації в умові задачі може призвести до появи

підзадачі, розв’язання якої активізує силу залежності, бо початкова задача може

істотно залежати від утвореної.

10.3. Існування задачі, спрощенням якої є дана задача (сила логіки).

Сила логіки може передбачити існування і допомогти в пошуку задачі, яка є узагальненням початкової. Ясно, що активізація сили залежності суттєво визначена тим, наскільки така задача складніша від даної і чи можна її розв’язати.

10.4. Можливість використання якогось елемента навчання (сила

Силу залежності можна активізувати випадковим пошуком навчальних елементів, якими можна скористатись в ситуації, заданій умовою задачі.

10.5. Наявність відомої аналогічної задачі (сила детермінованого).

Оскільки поняття “аналогії” не формалізується (вона може мати змістовний, лінгвістичний, емоційний, психологічний характер) і кожен розуміє її по-своєму, сила детермінованого активізує силу залежності уже тим, що ресурси, використані для досягнення аналогічної цілі, можуть допомогти при досягненні даної.

10.6. Наявність умови, спільної з якоюсь іншою задачею (сила символу).

Сила символу може допомогти в переформулюванні умови задачі на основі спільних із якоюсь іншою задачею фактів, якщо ту, іншу задачу вдалось спростити або й розв’язати.

Інколи алогічні перетворення задачі або дії, напрямлені на її ускладнення, активізують силу залежності, яка або дасть можливість використати якийсь елемент навчання, неможливий у початковій задачі, або помітити зв’язок між далекими аналогічними задачами.

Наявність симетрії в умові задачі змушує активізуватись силу залежності, згадати задачі з аналогічною симетрією чи скористатись елементами навчання, які звичайно використовуються при наявності саме такої симетрії.

При довільних перетвореннях задачі може активізуватись сила залежності, щоб скористатись фактами, висновками, навчальними елементами характерними для нової задачі, якщо вона цілком змістовна.

Звільнившись від якогось обмеження чи елемента навчання, характерного для даної задачі, ми можемо активізувати силу залежності, оскільки істотно зростає роль тих фактів з умови і елементів навчання, що залишились.

Упевненість у тому, що перетворена задача рівносильна початковій або з неї випливає розв’язання початкової, активізує силу залежності, бо є можливість скористатись усіма позитивними якостями нової задачі.

Нагромадження фактів про задачу або порушення її симетрії може активізувати силу залежності, оскільки кожен додатковий факт дає можливість скористатись додатковим навчальним елементом, якої не було раніше, або використання якого приховувалось за зниклою симетрією.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

11.1. Можливість одержати частину відповіді без повного логічного

обгрунтування (сила абсурду).

Сила абсурду може спричиняти дію сили детермінованого у ситуації, коли

неможливе логічне обгрунтування висновку або цей висновок суперечить фактам.

2. Наявність в умові факту, що дозволяє передбачити один із кількох

Факти з умови задачі не завжди мають евристичні властивості, не завжди із кожного факту можна дістати певний прогноз відносно можливих наслідків, тому варто, перебираючи інформацію, скористатись силою руху, щоб виявити саме той факт, що активізує силу детермінованого.

11.3. Впевненість у тому, що задача розв’язується (сила детермінованого).

Не обов’язково повинні бути ясні причини впевненості у можливості розв’язання задачі, впевненість може випливати з деякої умови задачі чи ні, у будь-якому випадку, це – найпростіший спосіб активізації сили детермінованого.

11.4. Гарантована можливість вгадати відповідь (сила випадкового).

Силу детермінованого можна активізувати тоді, коли відповідь до задачі дає можливість її відгадування шляхом випадкових змін деякого параметра задачі.

11.5. Наявність інформації про єдиність розв’язку задачі (сила тотожності).

Сила тотожності, завдяки незмінності поставленої цілі, може гарантувати

єдиність розв’язку спричиняючи подальшу дію сили детермінованого для його

відшукання.

11.6. Можливість логічного обгрунтування існування розв’язку

Існування чи єдиність розв’язку задачі можуть бути логічно обгрунтованими, тому, при наявності такого обгрунтування, необхідно прикласти відповідних зусиль, щоб активізувати силу детермінованого.

Наявність симетрії чи інших позитивних факторів естетичного характеру може активізувати силу детермінованого, бо при наявності симетрів в умові задачі природно чекати такої ж симетрії у відповіді, а за наявності такого явища можна передбачити, що й розв’язання задачі матиме ту саму симетрію.

Деякі стандартні переформулювання умови задачі на іншу мову, характерні саме для конкретного виду діяльності досить часто гарантують передбачення і форми відповіді, отже, активізують силу детермінованого.

Якщо отримати кілька аналогічних, рівносильних початковій задачі тверджень, можна активізувати силу детермінованого, оскільки ці аналогічні твердження можуть визначити спільний для них напрямок подальших міркувань, а єдиний напрямок дозволить передбачити відповідь до задачі.

Усунення зайвих фактів з умови задачі чи невдалих ідей, які не призвели до успіху, може активізувати силу детермінованого, оскільки кількість напрямків подальших міркувань зменшується і, отже, збільшується шанс передбачити можливий кінцевий результат.

Використання конкретних елементів навчання часто дає можливість передбачити деяку додаткову інформацію про кількість розв’язків задачі, що активізує силу детермінованого.

Порушення гармонії нагромадженням фактів чи порушення симетрії задачі може активізувати силу детермінованого, якщо вдається знайти твердження, які не суперечать отриманим фактам або твердження, що випливають з порушеної симетрії і не є наслідками початкової.

Наступні особливості задачі є передумовами використання цієї сили.

12.1. Неможливість використати іншу силу (сила руху).

Сила руху спричиняє використання сили випадкового, оскільки у такій ситуації тільки й приходиться надіятись на те, що випадкові маніпуляції із задачею призведуть до появи нової інформації про об’єкти, які в ній вивчаються.

Сила випадкового є природним засобом скористатись тими змінами в задачі,

які неможливо передбачити, вплинути на них.

12.3. Можливість надати невідомому параметру задачі конкретного

Сила випадкового може проявитись за рахунок того, що задача, звільнившись від сторонніх фактів, дозволить виділити один із параметрів задачі, якому буде надано деякого особливого, найважливішого значення.

12.4. Поява в умові задачі рідкісної для розглянутих об’єктів властивості (сила спокою).

Сила спокою призводить до виділення головних фактів з певної їх множини і, якщо з’явиться ознака, рідкісна для такого типу задач, є підстави чекати на

прояв сили випадкового.

12.5. Наявність інформації про кількість розв’язків задачі (сила

Відома інформація про кількість розв’язків задачі може бути причиною

активізації дії сили випадкового, яка дозволить відшукати вгадуванням всіх чи

принаймні деяких розв’язків.

6. Переформулювання умови, яка вимагає ймовірністного підходу до

задачі (сила символу).

Наявність в умові задачі фактів, що допускають теоретико-ймовірністну інтерпретацію, може спричинити дію сили випадкового – однієї з основних сил цієї математичної теорії.

7. Можливість створити змінну величину, значення якої потрібно

відшукати (сила логіки).

Логічні міркування на основі фактів із умови задачі можуть мати своїм наслідком утворення деякої змінної величини, відносно значень якої і стоятиме основна ціль. Активізувавши силу випадкового, можна натрапити саме на те значення, яке дасть відповідь до задачі.

8. Можливість випадкового пошуку потрібного елемента симетрії (сила

гармонії).

Створення симетрії в задачі саме по собі може активізувати силу випадкового, оскільки вдалий випадковий вибір одного із елементів симетрії може або спростити задачу, або дати якусь додаткову інформацію про відповідь до неї.

9. Потреба вибрати одне із багатьох можливих тверджень, із яких

початкова задача є наслідком (сила тотожності).

Тривала робота над задачею може створити рівносильних тверджень або тверджень із яких початкова задача є наслідком. Якщо у жодному випадку немає можливості віддати перевагу одному з варіантів, можна активізувати силу випадкового і вгадати чи передбачити правильний вибір на основі інтуїтивних чи якихось інших суб’єктивних факторів.

10. Необхідність вибору елемента навчання у ситуації, коли такий вибір

не є аргументованим наслідком попередніх дій (сила залежності).

Можливість вибору елемента навчання, щоб перетворити задачу не завжди можна здійснити аргументовано, тоді, активізацією сили випадкового, потрібний вибір можна здійснити на основі інтуїтивних чи якихось інших суб’єктивних факторів.

11. Можливість без необхідних передумов використання сили

випадкового щось вгадати (сила абсурду).

Сама ідея сили абсурду вимагає якихось дій, які не є логічними наслідками даної в умові задачі інформації. Тому, активізувати силу випадкового інколи можливо, навіть не маючи необхідної передумови (деякої змінної величини, значення якої потрібно знайти), поставивши завдання що-небудь вгадати, розраховуючи тільки на везіння.

12. Неможливість віддати перевагу одному із способів порушення симетрії

Порушення симетрії може здійснюватись багатьма способами (якщо є кілька

елементів симетрії). Тому, якщо немає інших аргументів, правильний вибір можна

здійснити, активізувавши силу випадкового.

Наведені вище ознаки активізації конкретної сили навряд чи є повними. Якби цей недолік можна було усунути, це означало б досягнення глобальних цілей діяльності активізації рушійних сил, що навряд коли-небудь буде зроблено.

Але сказане вище дозволяє прослідкувати за тим, які саме рушійні сили діють у галузі діяльності активізації рушійних сил, коли ми приймаємо рішення про використання якоїсь рушійної сили у процесі досягненні однієї із локальних цілей.

Надалі на прикладах ми побачимо, як використовувати дію тієї чи іншої сили при розв’язуванні задач. Розглянемо приклади локальних цілей в математиці, як правило – елементарній, з указанням комплексу сил, які дозволяють розв’язати задачу, або наблизитись до її розв’язання настільки, щоб засобів навчання було достатньо для досягнення відповідної цілі.

При розв’язанні кожної із сорока наведених далі задач будуть указані використані сили і відмічено причини чи особливості задачі, які наштовхували нас на використання саме цієї сили.

Розгляд цих прикладів є навчальним процесом галузі активізації рушійних сил, бо розгляд прикладів направлений на вироблення навичок використання рушійних сил виховання у конкретних задачах тоді, коли самі сили вже відомі. В той же час розв’язання кожної задачі супроводжується показом мотивів, що спричинили використання цієї сили, активізували її. Тому розгляд прикладів містить також елементи виховання в математичній діяльності, оскільки виховні процеси цієї діяльності направлені на формування загальних навичок виявлення того, якими саме силами потрібно скористатись.

При першому читанні можна не звертати увагу на зміст понять, пов’язаних з рушійними силами, оскільки розв’язання наведених далі задач з математичної точки зору є самодостанім. Тобто читач, який “не повірив у сили”, може зрозуміти, яким чином дана задача розв’язується й без них. Якщо ж ви хочете переконатись, які саме сили використані, або зрозуміти, які саме мотиви визначали прийняття рішення про використання тієї чи іншої сили, рекомендуємо ще раз повернутись до загального аналізу відповідної сили, проведеного в § 2. Перечитування не буде даремним, бо читачеві має бути ясно, які саме особливості даної сили використовуються. Читач змушений буде також не раз повертатись до змісту § 5, у якому перераховані особливості задачі, які спричиняють спробу використання відповідної рушійної сили. Це також потрібно робити, якщо ви намагаєтесь засвоїти зміст § 5.

Зверніть увагу на те, які саме навчальні елементи використовуються при розв'язуванні наведених конкретних задач і переконайтесь, що обсяг необхідних знань не виходить за межі програми з математики для загальноосвітньої середньої школи, хоча задачі навряд чи хто може назвати стандартними. Це зауваження здається неістотним, однак ідея використання базових задач, яка уже давно вважається загальноприйнятою, ставиться під сумнів. Допускаючи необмежене ускладнення змісту базових задач, ми можемо прийти до ситуації, коли для розуміння готового розв’язання нової задачі необхідно знати розв’язки кількох інших нетривіальних задач (базових).

Сила спокою (6а, 6в, 6д) змушує задуматись над запитанням, що в цій задачі є стороннім, а що – суттєвим. Сила свободи (9в, 9б) підказує: потрібно звільнитись від вигляду виразів, які стоять під знаком модуля. Тобто розглянути таку ж задачу для рівняння

| x – p | + | x – q | – r = 0.

Тут діє сила абсурду (2б, 2г, 2е), бо кількість невідомих параметрів збільшилась, отже, задача ускладнилась. Однак сила гармонії (3б, 3г) дозволяє зробити висновок: ми на правильному шляху, оскільки задача стала красивішою на вигляд. Сила символу (5а, 5б) підказує перекласти утворену задачу на іншу мову, наприклад – на графічну.

Для цього розглянемо функції y= | x– p | + | x– q | і y = r, і з’ясуємо, коли їхні графіки перетинаються тільки в одній точці. Вважатимемо, що побудова таких графіків є навчальним елементом. Якщо p¹ q, тоді перший графік буде ламаною з двома точками зламу, координати яких знаходяться при х= p та х= q, і вони мають вигляд (p; | p – q |) і (q; | p – q |). Це значить, що ламана міститиме відрізок, паралельний до осі Ох і два промені, спрямовані, очевидно, вгору від осі Ох. Другий графік є прямою, паралельною до осі Ох, тому такі два графіки не можуть мати тільки одну спільну точку. Їх буде або рівно дві, або нескінченно багато, або ж спільних точок не буде взагалі. Дія сили логіки (1а, 1д, 1е) на отримання останнього висновку – безсумнівна. Щоб нею скористатись, необхідно використати силу руху (7в, 7г), переміщаючи пряму у = r при зміні r від + ¥ до - ¥ паралельно до осі Ох. Тепер можна помітити дію сили випадкового (12б, 12г, 12д). Тільки при збігу кількох фактів можливе те, що вимагається в умові задачі. По-перше, необхідно, щоб ламана не мала відрізка, паралельного до осі Ох і мала лише одну точку зламу, а це можливо тільки тоді, коли р = q. По-друге, необхідно, щоб пряма у = r проходила саме через цю точку зламу (х = р = q, у = 0), тобто необхідно, щоб r = 0. Використаємо силу тотожності (6г), яка дозволить зробити висновок про початкову задачу, рівносильну утвореній. Цей висновок фактично дає відповідь на поставлене в умові запитання, оскільки для початкової задачі p= 2ab – a², q = 2b² – ab, r= 2 – b. Тому 2 – b= 0, 2ab – a² = 2b² – ab. Відповідь дістанемо, розв’язавши квадратне рівняння а² – 6а + 8 = 0, звідки (навчальний елемент) а = 2 або а = 4, b = 2.

При розв’язанні цієї задачі можна помітити, дію ще деяких сил, або звернути увагу на використання ще деяких навчальних елементів. Так, наприклад, дія сили детермінованого проявилась непрямо тоді (11в), коли була впевненість у тому, що поставлена задача має розв’язок. Можна вказати ряд навчальних елементів, не згаданих вище, наприклад, правильне перетворення виразів, правильне розуміння понять, пов’язаних із системою координат. Ми зупинялись тільки на головних, найважливіших епізодах при розв’язанні задачі.

2° . Яким має бути число х, щоб проміжок (– 2x – x² ; x² – x + 1) містив єдине ціле число ?

Тут сила спокою (6в, 6г) змушує задуматись над тим, чи є тут значення х, для яких відповідь очевидна. Такі значення відразу можна відкинути і не розглядати далі. Ясно, що нерівність – 2x – x² < x² – x + 1 має справджуватись, інакше й проміжку не буде. Ця нерівність є квадратною, тому скористаємось навчальним елементом, розв’язуючи її. Виявляється, що розв’язками нерівності будуть усі дійсні числа, тому ніякої додаткової інформації не з’явилось. Сила руху (7г, 7е) змушує задуматись, чи немає ще якихось ознак того, що дане число х не буде задовольняти умову задачі. Сила спокою (7в, 7г) призводить до висновку, що в умові задачі мають бути факти, від яких розв’язок істотно залежить. Напевне, таким фактом є умова про єдиність цілого числа. Тепер неважко дійти до висновку: довжина даного проміжка не повинна бути дуже великою. Якщо вона буде більшою від двох, то на проміжку обов’язково буде принаймні два цілих числа (сила логіки, 1в, 1е). Тому ми повинні розв’язати нерівність

(x² – x+ 1)–(–2x – x²) £ 2.

Її розв’язком (навчальний елемент) буде проміжок [–1;].

Скористаємось силою символу (5а, 5г), переклавши умову на геометричну мову. Нова задача матиме такий вигляд. Знайти усі значення а із проміжка [–1;], для кожного із яких відкритий відрізок прямої х = а, що знаходиться між графіками

у = –2x – x² і у = x² – x + 1, міститиме єдину точку з цілою ординатою. Побудова указаних графіків – навчальний елемент. Рухаючи пряму х = а паралельно до осі Оу від положення а= –1 до положення а = , бачимо, що сила руху (7а, 7в, 7г) діє тут на повну силу. При а= – 1 єдиною цілою ординатою на указаному проміжку буде число 2. При русі прямої х = а вправо деякий час крім числа 2 буде ще й ціле число 1. Це триватиме до того часу, поки кінець відрізка не співпаде з точкою на графіку у = x² – x + 1, відповідною значенню у = 2, тобто число 2 не зникне з проміжка. Розв’язуючи рівняння x² – x+ 1=2, дістанемо х = . Далі деякий час тільки ціле число 1 буде належати даному проміжку. При х = 0 й воно зникає з проміжка і він не міститиме жодного цілого числа. Однак при х > 0 на ньому з’являється ціле число 0. Воно буде єдиним, аж поки на проміжку не з’явиться ціле число – 1. Це станеться тоді, коли функція у = – 2х – х² набуде значення – 1. Розв’язуючи відповідне рівняння, знаходимо х = . При подальшому русі прямої х = а вправо відповідний проміжок міститиме два цілих числа 0 і – 1, отже, більше розв’язків не отримаємо.

Перекладемо отримані висновки на мову початкової задачі, скориставшись силою тотожності (6а, 6г). Умову задовольняють число х = –1, усі числа з проміжка (; 0) і усі числа з проміжка (0; ).

3° . Прямокутник ABCD є основою піраміди ABCDS. Відомо, що AS = 5,

BS = 3, CS = 4. Знайти ребро DS піраміди.

Скористаємось силою символу (5а, 5б), переклавши умову задачі на векторну мову. Ознакою того, що саме так потрібно діяти, є відсутність повної інформації про піраміду, а сила детермінованого (11в) змушує використати який-небудь загальний метод. Сам переклад – навчальний елемент. Для цього позначимо, наприклад, ,,, тоді умова задачі запишеться так.

Дані вектори довжиною 5, 3 і 4 відповідно, і . Знайти довжину вектора .

Умову перпендикулярності запишемо як рівність нулеві скалярного добутку (сила символу, 5а, 5е). Використовуючи навчання, дістанемо . Лишається відзначити: щоб знайти довжину вектора , досить знайти ()² , тобто обчислити суму

.

Сила випадкового (12а, 12г) змушує помітити, що вираз у останніх дужках уже обчислений раніше, а довжини векторів відомі з умови задачі.

Зауважимо, що задачу можна зробити значно швидше, якщо знати значно більше, ніж за традиційною програмою середньої школи (високий рівень навченості). Достатньо знати, що для прямокутника ABCD і довільної точки S простору справедлива формула AS² + CS² = BS² + DS². Доведення цієї формули істотно не відрізняється від розв’язання задачі, наведеної вище.

4° . Знайти об’єм трикутної піраміди ABCD, якщо AB =13, BC = 20, AC = 19,

Ця задача є ілюстрацією дії сили випадкового (12а, 12г), оскільки змінивши числа, указані в умові, ми значно ускладнимо задачу. Особливістю задачі є той факт, що два трикутники ABD і BCD є прямокутними, цю особливість якраз і потрібно виявити, скориставшись силою випадкового.

Оскільки BD ^ CD і BD ^ АD, то ВD буде висотою піраміди, проведеною до грані ACD. Об’єм піраміди тоді обчислюється за відомою формулою після обчислення площі трикутника ACD, наприклад, за формулою Герона.

Зауважимо, що розглянута задача містить багато навчальних елементів. Перерахуємо основні із них: а) перевірка того, чи буде даний трикутник прямокутним, чи ні; б) ознака перпендикулярності прямої і площини; в) обчислення об’єму піраміди за відомими площею основи і висотою, проведеною до неї; г) обчислення площі трикутника за відомими сторонами.

5° . Діагоналі опуклого чотирикутника перпендикулярні і одна із них

Сила логіки (1г) змушує до пошуку навчального елемента, що поєднує дані з умови задачі: чотирикутник, вершини якого – середини сторін даного чотирикутника є паралелограмом, кожна сторона якого паралельна до відповідної діагоналі даного чотирикутника і дорівнює її половині за довжиною. Скориставшись дією сили випадкового (12г), помічаємо, що у даній задачі сторони такого паралелограма перпендикулярні, тому він є прямокутником. Зауважимо, що на відміну від попередньої задачі випадковими тут є не довжини відрізків, а їхнє взаємне розміщення.

Залишається скористатись силою символу (5а) і переформулювати задачу. В новій задачі відома одна сторона і одна діагональ прямокутника. Потрібно знайти площу початкового чотирикутника. Скористаємось силою залежності (10е, 10д), яка змусить нас до пошуку зв’язку між площами прямокутника і початкового чотирикутника. Оскільки іншу сторону прямокутника можна знайти (елемент навчання – теорема Піфагора), то можна знайти й іншу діагональ початкового чотирикутника, а потім і його площу (навчальний елемент – формула для площі довільного опуклого чотирикутника, у якому відомі довжини діагоналей і кут між ними).

6° . Знайти всі такі пари цілих чисел ( m ; n ), що | 3^m – 2ⁿ | = 1.

Сила руху (7а, 7б, 7в, 7г, 7д) змушує знайти деякі з розв’язків задачі або вказати умови, коли їх не буде взагалі. З одного боку, шукані цілі числа не можуть бути від’ємними, бо тоді ліва частина даної рівності буде меншою від одиниці. Якщо ж тільки одне із чисел буде від’ємним, то ліва частина не буде цілою. Пошук очевидних розв’язків задачі серед невід’ємних цілих чисел дає : (m, n) = (0;1); (m, n) = (1;1); (m, n) = (1;2); (m, n) = (2;3). Цей пошук можна здійснити, підставивши m = 0, 1, 2 або n = 0, 1, 2, 3, отже, надалі можна вважати, що m ³ 3, n ³ 4.

Згадуючи про те, що a = 3^m, скористаємось силою руху (7б, 7в), щоб вияснити, які остачі при діленні на 16 може давати це число при зміні значення показника степеня, починаючи із m = 0. Легко помітити, що остачі будуть дорівнювати 1, 3, 9, 11, а далі будуть періодично повторюватись (сила випадкового, 12г, 12б). Тому число m – кратне чотирьом, і має справджуватись рівність 3^4k = 2ⁿ + 1, де m = 4k.

Найпростіші формули (навчальний елемент) дають 3^4k – 1= (3^2k – 1)(3^2k + 1)=2ⁿ. Це значить, що обидва числа 3^2k – 1 і 3^2k + 1 є степенями двійки (навчальний елемент). Оскільки відстань між ними на числовій прямій дорівнює двом, а відстань між степенями двійки дорівнює двом тільки тоді, коли 2² – 2¹ = 2, отримаємо випадок 3^2k + 1 = 4, 3^2k – 1= 2, який неможливий при цілому k. Це значить, що інших розв’язків, крім знайдених раніше, задача не має.

Зауважимо, що дія сили руху використовувалась тут принаймні двічі. Крім того, сила детермінованого (11в) зіграла вирішальну роль, оскільки було наперед відомо, що задача якось розв’язується.

7° . Знайти усі пари чисел (x; y), для яких справджується рівність

х і у, щоб указана рівність справджувалась. Так, рівність правильна, якщо

cos x = cosy=1 або cos x =1, cos y= –1 або cos у=1, cos х= –1. Якщо ж cos x = 0

або cos y= 0 або cos x =1, cos y¹ ± –1 або cos у=1, cos х¹ ± –1, то вона неправильна.

Надалі вважаємо (сила спокою, 8б, 8д), що cos х¹ 0, cos у¹ 0, cos х¹ 1, cos у¹ 1.

Рівність з умови задачі запишемо у вигляді cos x × cosy( cos х+ cosу –1)=1 і

розглянемо випадок cos x × cosy > 0. Тут діє сила гармонії (3а, 3в), оскільки

симетрія, характерна для початкової умови, збереглася. Згадуючи найпростіші

властивості функцій cos x, cos у і нерівностей (навчальний елемент), помітимо, що

за умов cos x > 0 і cos y > 0, матимемо

0 < cos x <1 , 0 < cos y < 1, – 1 < cos х+ cosу –1< 1,

тому cos x × cosy( cos х+ cosу –1) <1, отже, рівність з умови є хибною. Якщо ж

cos x < 0 і cos y < 0, то матимемо 0 < cos x cos y < 1, cos х + cosу –1 < 0, тому

рівність з умови задачі також неправильна. Тут проявилась дія сили руху (7д).

Випадок cos x >0, cos y <0 неможливо розглянути аналогічно (сила спокою, 8б).

Скористаємось силами залежності (10а, 10г), гармонії (3е), силою дисонансу(4а), побачивши в задачі квадратичну функцію f (t)= t²cosy+(cos²y– cosy)t –1, де cos x = t. Стандартне дослідження показує, що маємо параболу, направлену вітками вниз, і,

оскільки дискримінант функції дорівнює cosy(4 + cosy – 2cos²y + cos³y)£ 0, то її

графік завжди знаходиться під віссю абсцис, можливо, крім випадку cosy = – 1.

Проста перевірка показує, що цей випадок уже розглянуто, бо тоді cosx = 1. Отже,

ми довели, що f (t) < 0, і рівність, указана в умові задачі, справджуватись не може.

Випадок cos x<0, cosy>0 розглядається аналогічно, бо діє сила гармонії (3а, 3е).

Отже, парами чисел (x;y) й будуть тільки пари, знайдені спочатку, тобто

пари (2 p n; 2p m), (2p n; p + 2p m), (p + 2p n; 2p m), де m, n – довільні цілі числа.

Зауважимо, щоб записати відповідь, потрібно уміти розв’язувати найпростіші тригонометричні рівняння соs a = 1 і cosa = – 1.

8° . Довести нерівність .

Сили руху (7г) і залежності (10г)змушують шукати якоїсь аналогії з відомими

нерівностями (навчальний елемент). Скористаємось нерівністю між середнім

арифметичним і середнім геометричним двох додатніх чисел, яка має вигляд

.

Дістанемо нерівність . Сила логіки (1а) змушує

відзначити: тепер досить довести, що . Така нерівність рівносильна

нерівності х² + 4х+ 4 > 0 (навчальний елемент), яка є правильною при х ¹ – 2.

Якщо ж х = – 2, то використаємо силу випадкового (12г, 12д), підставивши

значення х= –2 у початкову нерівність (сила тотожності, 6в), дістаючи правильну

нерівність . Отже, початкова нерівність доведена при довільних х.

9° . Розв’язати нерівність , якщо х – додатнє число.

Спроба скористатись відомими нерівностями не призведе до успіху. Сила

свободи (9г) змушує звільнитись від неістотних фактів з умови і задуматись над

тим, що у цій задачі основне (сила спокою, 8в).

Додатність числа х гарантує, що обидва показники степеня є зростаючими

функціями. Тому зростаючою буде й функція, указана в лівій частині заданої

нерівності (навчання). Сила логіки (1а, 1е) дозволяє встановити, що нерівність

справджуватиметься на проміжку [a; + ¥ ) і не виконуватиметься при інших

додатніх значеннях числа х, де а – єдиний корінь рівняння .

Щоб знайти число а, скористаємось силою детермінованого (11а, 11в, 11г, 11д) і

силою випадкового (12г), оскільки число 36 є сумою степенів трійки тільки у

випадку 36= 9 + 27.

Ці міркування змушують (сила логіки, 1д) розв’язати дві системи рівнянь

і . Ясно, що перша система має єдиний розв’язок

х = 1/3, а друга – несумісна. Отже, додатніми розвязками даної в умові нерівності

будуть усі числа з проміжку [1/3; + ¥ ) і тільки вони.

Використавши силу руху (7в), підставимо послідовно значення х =1, х = 2 і х=3

.

Чи є сенс розв’язувати цю систему? Є надія на силу випадкового (12а, 12д).

Ця надія грунтується на тому (сила детермінованого, а), що ми підставили три

значення х, а три точки повністю визначають вигляд графіка квадратичної функції

ax² + 8x + b. При розв’язуванні системи потрібен навчальний елемент – уміння

розв’язувати нерівності вигляду | x | £ 1 і найпростіші лінійні нерівності. Дістанемо

.

Оскільки початкова задача якось розв’язується (сила детермінованого, 11в, 11а), спробуємо дізнатись про умови, при яких значеннях параметра а існує значення параметра b, щоб справджувались усі три нерівності системи, тобто знайдемо умови (сила символу) того, що число b належить кожному із таких дев’яти проміжків: [– 9 – a; – 7– a], [– 9 – a;– 15 – 4a], [– 9 – a; – 23– 9a], [– 17– 4a;– 7– a], [– 17– 4a;– 15 – 4a], [– 17– 4a; – 23– 9a], [– 25 – 9a; – 7 – a], [– 25 – 9a;– 15 – 4a],

[– 25 – 9a; – 23– 9a]. Це можливо тільки тоді, коли кожен лівий кінець проміжка не буде перевищувати кожного правого кінця (елемент навчання).

Отримаємо систему нерівностей

.

Оскільки з першої і останньої нерівності дістанемо a £ - 2 і a ³ - 2, то a = - 2. Неважко перевірити, що число a = - 2 справді буде розв’язком останньої системи. Підставивши його в передостанню систему нерівностей, дістанемо b = – 7.

Тепер сила тотожності (6г, 6в) змушує нас перевірити, чи знайдена єдина пара чисел (- 2 ;- 7) справді задовольняє умову задачі. Для цього знову скористаємось силою символу (6а), переклавши умову отриманої задачі на геометричну мову: побудуємо графік у = – 2x² + 8x – 7, потім графік у = | 2x² – 8x + 7| на проміжку [1,3] і по вигляду графіка побачимо, що він розміщений під прямою у = 1.

11° . Довести нерівність 5sinx cos2x + 12 cosx sin3x < 13.

Нерівність легко довести, скориставшись силою залежності (10а, 10г, 10г). Використаємо навчальний елемент – методи розв’язування нерівності

Вона є узагальненням даної в умові нерівності, містить три параметри, однак це нас не повинно турбувати, бо діють сила абсурду (2г, 2е) і дисонансу (4г).

Позначимо через a = 5cos2x, b = 12sin3x, тоді a² + b² £ 13² (навчальний елемент). Отже, дана нерівність матиме вигляд (сила тотожності, 6г)

Остання нерівність буде доведеною, якщо встановити (навчальний елемент) , що є неможливою рівність

Враховуючи сказане вище, потрібно розглянути єдину можливість a = 5, b = 12,

12° . Знайти значення параметра а, при яких рівняння х(х² –1)(х² –10) = а має

Скористаємось силою символу (5а), переклавши умову задачі на геометричну мову. Для цього схематично побудуємо графіки у = х(х² –1)(х² –10) та у = а. Другий із них – пряма, паралельна осі Ох. Оскільки похідна першої функції є многочленом четвертого степеня, то вона дорівнює нулеві не більше, ніж у чотирьох точках, а тому дана функція має не більше п’ятьох проміжків монотонності (елементи навчання). Перший графік проходить через точки (0;0), (1;0), (– 1;0), (, ( –, тому функція має рівно п’ять проміжків монотонності, причому три із них знаходяться всередині проміжка (–;, на якому є тільки такі цілі числа: – 3, – 2, – 1, 0, 1, 2, 3 (сила випадкового, 12г, 12д). Тому (сила логіки, 1д, 1е) одне із цих чисел повинне бути коренем початкового рівняння (якщо ні – то на решті двох проміжках монотонності рівняння матиме по одному кореню, значить всього їх буде тільки два). Підставивши по черзі х = – 3, х = – 2, х = – 1, х = 0, х =1, х = 2, х =3, отримаємо відповідно а = 24, а = 36, а = 0, а = 0, а = 0, а = – 36, а = – 24. Розв’язуючи кожне із рівнянь х(х² –1)(х² –10) = 24,

х(х² –1)(х²–10) = 36, х(х² –1)(х²–10) = 0, х(х² –1)(х²–10) = – 36, х(х²–1)(х²–10) = –24, бачимо, що тільки одне із них – рівняння х(х² –1)(х² –10) = 0 має три цілих корені. Зауважимо, що при розв’язуванні цих кубічних рівнянь діє сила детермінованого (11в, 11г), оскільки для кожного із рівнянь уже знайдено один, а то й усі три корені. Ясно також, що без елемента навчання (відшукання коренів кубічного рівняння у випадку, коли один з його коренів відомий) не обійтись.

13° . Розв’язати нерівність [ x² ] – 3[ 2x ] + 4 £ 0, де [ x ] – ціла частина числа х, тобто найбільше ціле число, що не перевищує х.

Щоб знайти усі корені рівняння, потрібно побачити у ньому квадратне рівняння відносно “невідомого” числа :. Звідси

(навчальний елемент) дістанемо , тому або , отже, початкове рівняння має чотири (!) корені: ,.

Розв’язання цієї задачі – ілюстрація дії сили випадкового.

Спочатку скористаємось силою руху (7в, 7г, 7е), перевіривши, чи можливі випадки, коли одне із невідомих – невелике просте число. При у = 2, у = 3, у = 5,

х = 2, х = 3 дістанемо, що інше невідоме або не є цілим, або воно ціле, однак – не просте. Нагадаємо, що число 1 не вважається простим (сила тотожності, 6д). А при х = 5 отримаємо у = 31, тобто ми випадково (12д) натрапили на один із розв’язків задачі. Залишається надіятись знову на силу випадку (12г) і здійснити спробу довести, що інших розв’язків немає.

Кожне просте число, більше від п’яти, може давати одну із остач 1, 2, 3 або 4 при діленні на 5, тому числа х² та у² можуть давати остачі 1 або 4. Тоді число 39х² також даватиме остачу 1 або 4, а число 14+ у² даватиме остачу 0 або 3 (сила руху, 7а). Це неможливо, бо у такому разі рівні числа 39х² і 14 + у² даватимуть різні остачі при діленні на 5. Отже, інших розв’язків, крім уже знайденого, задача не має. Зверніть увагу, що навчальним елементом тут є уміння виконувати арифметичні дії з остачами і, таким чином, відшукання можливих остач при діленні арифметичного виразу на деяке ціле число.

16° . Розв’язати систему рівнянь .

Тут скористаємось силою гармонії (3а, 3в), оскільки система рівнянь симетрична, і здійснимо перетворення першої рівності, використавши симетричну формулу

х² + у² = (х + у)² – 2ху. Дістанемо тотожність

х⁴ + у⁴ = (х² + у²)² – 2х²у² = ((х + у)² – 2ху)² – 2х²у² = (х + у)⁴– 4ху(х + у)² + 2х²у², звідки отримаємо (ху)² – 8(ху) – 18 = 0 – наслідок із рівнянь системи. Сила тотожності (6г) змушує нас встановити, чи буде рівність х⁴ + у⁴ = 52 наслідком рівнянь системи . Дістанемо

х⁴ + у⁴ =(х+ у)⁴– 4ху(х+ у)² +2х²у² =16 –16ху +2х²у² =16+2(х²у²– 8ху) =16+36 =52, тому дана система і отримана – рівносильні (сила логіки, 1а). Друга система легко розв’язується навчальними засобами (квадратне рівняння і, наприклад, теорема Вієта), звідки або навпаки. Звернемо увагу на силу, дією якої ми скористались, але не вказали на це – силу свободи (9г, 9е). Її дія проявилась тоді, коли ми відмовились від стандартного методу розв’язування систем. Якби ми виразили y з першого рівняння початкової системи через х, то дістали б рівняння четвертого степеня х⁴ – 4х³ + 12х² – 16х + 8 = 0, розв’язки якого ми уже знаємо: .

Навряд чи можна розв’язати останнє рівняння, не використавши силу залежності (10г) від початкової системи рівнянь і силу гармонії (3б).

17 ° . Знайти усі додатні числа x, y, z , для яких справджуються рівності

Спроба скористатись стандартним методом підстановки (сила залежності, 10г), щоб звести систему трьох рівнянь до системи двох рівнянь, значно ускладнює задачу. Враховуючи, що система рівнянь симетрична, скористаємось силою гармонії (3а), отримавши симетричні наслідки із системи. Для цього віднімемо послідовно від першого рівняння друге, від другого – третє, а потім – від третього перше. Ясно, що отримана система рівностей не буде рівносильною початковій системі, однак сили гармонії (3в) і свободи (5в) можуть наблизити до відповіді. Дістанемо

Що робити далі? Сила руху ( 7а,7б) змушує хоч якось використати досягнуте. Крім різниць невідомих, ніякої нової інформації не з’явилось. Однак рівності симетричні (сила гармонії, 3а). Спробуємо вияснити, як можуть бути розміщені числа x, y, z на числовій прямій. Якщо два якісь із них співпадають, а в силу симетрії неістотно, які саме, нехай, наприклад, х = у, то з другого рівняння системи дістанемо, що й y = z (не будемо забувати про умову задачі, бо сила тотожності змушує пам’ятати, що x, y, z – додатні числа). З початкової системи, розв’язуючи квадратне рівняння, дістанемо (елемент навчання).

Тепер розглянемо усі шість випадків, коли x, y, z – попарно різні додатні числа (сила руху, 7а, 7г):

1. x < y < z;
2. x < z < y;
3. y < x < z;
4. y < z < x;
5. z < x < y;
6. z < y < x.

18 ° . Вияснити, чи буде періодичною функція .

Сили тотожності (6д) і символу (5а) вимагають згадати означення періодичної

функції, щоб поставити запитання про пошук такого додатнього числа T > 0, що

для довільних х. Сила руху (7в) підказує скористатись цією тотожністю при певному х, щоб дістати рівняння для відшукання числа T. Підставивши х = 0, дістанемо . Цієї рівності явно недостатньо для однозначного відшукання T (навчальний елемент). Скористаємось силою залежності (10г) – залежності від поняття “похідна”: якщо між деякими функціями справджується тотожність, то буде справджуватись тотожність між функціями, отриманими з даних за допомогою одних і тих же перетворень. Знаходячи похідну від обох частин наведеної вище тотожності, дістанемо ще одну тотожність:

.

Якщо у неї підставити х = 0, дістанемо ще одне рівняння для відшукання числа T (сила руху, 7г): . Тепер із системи рівнянь

отримаємо , тому для деяких цілих чисел n, m.

(елемент навчання). Сила тотожності (6е) змушує прирівняти два рівних значення , звідки , що суперечить ірраціональності числа (елемент навчання). Тут проявилась і сила випадкового (12б): число в умові задачі

можна було б замінити на довільне ірраціональне число, але не можна замінити

на раціональне.

19 ° . Розв’язати рівняння 3 × 2^х + 4^х – 3 × 3^х – 1 = 0 .

Оскільки ніяких навчальних методів розв’язування таких рівнянь немає, спробуємо скористатись силою руху (7в, 7г), відшукавши принаймні деякі корені цього рівняння. Ясно, що крім цілих коренів, ніяких інших ми не зможемо підібрати. Кілька послідовних спроб підставити х = 0, х = 1, х = 2 показують, що ці три числа є коренями даного рівняння. Що далі ? Спроба підставити х = – 1 чи х = 3 нічого не дає, бо ці числа не задовольняють вказану в умові рівність. Сила детермінованого (11в) підказує здійснити спробу доведення того, що інших коренів, крім уже трьох знайдених, рівняння не має. Ця нова задача істотно залежить від того, чи функція f(x) =3× 2^х + 4^х – 3× 3^х – 1= 0 в лівій частині рівняння має три проміжки монотонності, чи більше (елемент навчання). Згадуємо про силу залежності (10г), яка наводить на думку скористатись похідною для дослідження на монотонність похідною. Дістанемо , що не дуже обнадійливо. Знайти корені рівняння навряд чи можливо, бо більш-менш пристойне рівняння перетворилось у “монстра”. Але не забуватимемо про силу дисонансу (4б). Потрібно в рівнянні знайти щось непомітно красиве. Якщо поділити це рівняння, наприклад, на 4^х, дістанемо ще гірше, на перший погляд, рівняння

.

Однак, у порівнянні із початковим рівнянням у отриманому є деякий “плюс”: кількість експонент (експоненціальних функцій), що є доданками у лівій частині рівняння, на одиницю зменшилась. Крім того, нам і не потрібно знаходити корені рівняння , а треба знайти тільки їхню кількість. Діють сили символу (5а, 5б) і тотожності (6г). Нам потрібно довести, що воно має не більше двох коренів, а потім скористатись навчальним елементом і довести, що функція f (x) в лівій частині рівняння має не більше трьох проміжків монотонності. Оскільки, принаймні гіпотетично, ми наблизились до розв’язання початкового рівняння, скористаємось ще раз розглянутою вище “красивою” ідеєю, що зменшує кількість експонент (сила дисонансу, 4г) . Для цього позначимо функцію і знайдемо її похідну . Тепер рівняння зводиться після множення на 2^х до рівняння . Таке рівняння можна навіть розв’язати, однак нам потрібно лише знати, що воно має не більше одного кореня (сила тотожності, 6г). Звідси випливає, що функція g(x) має не більше двох проміжків монотонності, а тому рівняння g(x) = 0 має не більше двох коренів. Саме це й було потрібно довести. Таким чином, крім знайдених (випадково !) коренів

х = 1, 2 або 3, початкове рівняння більше коренів не має.

Використавши силу абсурду (2д) і символу (5а), отримаємо рівносильну задачу про доведення того, що не існує додатніх дійсних чисел, для яких .

Сила руху (7а, 7г) вимагає з’ясувати питання існування принаймні одного із невідомих. Так, для невідомого d маємо систему . Для того, щоб число d існувало (елемент навчання), необхідно і достатньо, щоб справджувались обидві нерівності і . Це значить (сила символу, 5г), що потрібно довести відсутність розв’язків системи нерівностей

.

Сила гармонії (3д) дає оцінку того, що ми на правильному шляху, а саме: кількість невідомих зменшилась на одиницю, кількість нерівностей також зменшилась.

Скориставшись силою руху ще раз, дамо відповідь на запитання про існування числа b. Для того, щоб воно існувало, необхідно і достатньо, щоб система

мала принаймні один розв’язок, тобто (елемент навчання), щоб справджувались обидві нерівності і . Або, після спрощення (елемент навчання ) – обидві нерівності і .

Тепер (сила символу, 5а) отримаємо задачу про існування додатніх дійсних чисел, для яких . Оскільки дана квадратна нерівність справджується тільки при або при і обидва випадки суперечать першим двом нерівностям останньої системи, доведено, шо числа a і c не існують. Отже, ми довели (сила тотожності), що насправді виконується нерівність .

Безпосередня перевірка показує, що x₂= 7, тобто насправді є простим числом. Сила руху ( 7в, 7г) змушує принаймні знайти кілька наступних чисел послідовності:

x₃= 87= 3 × 29, x₄ =1687 = 7× 241, x₅ = 33687 = 3 × 11229. Сила випадкового (12г) дала можливість помітити те, що члени послідовності x₁, x₃, x₅ діляться на 3, а x₂, x₄ діляться на 7. Очевидний зв’язок між членами послідовності, номери яких відрізняються на 2. Тому знайдемо формулу, яка виражає x_n+2 через x_n . Дістанемо x_n+2 = 20x_n+1 – 53 = 20× (20x_n – 53) – 53 = 400x_n – 53× 21. Звідси легко помітити (сила логіки, 1в), що з умови подільності на 3 або на 7 члена послідовності x_n випливає подільність на 3 або на 7 члена x_n+2 цієї послідовності відповідно. Скористаємось силою тотожності (6г). Оскільки у задачі потрібно довести непростоту членів послідовності x_n, лишається довести, що усі члени послідовності, починаючи з x₃, більші від 7.

x_n+1 – x_n= 19 x_n – 53 > 0, x_n+1 – 7= 20 x_n – 60 > 0, якщо x_n >7. Оскільки нерівність

x_n >7 правильна при n > 2, то із доведених щойно нерівностей x_n+1 – x_n > 0 та

x_n+1 –7 >0 випливає (сила логіки, 1а), що вони залишаються правильними при збільшенні номера n.

Це й доводить, що усі члени даної послідовності, починаючи із третього, не будуть простими числами.

22° . Знайти найменше значення суми відстаней від довільної точки простору до усіх вершин прямокутного паралелепіпеда, сторони якого дорівнюють 3, 4 та 5.

Можна розраховувати лише на силу абсурду (2а, 2б, 2г) і ускладнити задачу. Але як саме? Метод математичної індукції (елемент навчання) достатньо ефективний при доведенні нерівностей, що залежать від натурального параметра n, однак тут такого параметра немає. Спробуємо змінити задачу, використавши силу узагальнення так, щоб 1) у ній стояло питання про доведення нерівності, яка залежить від натурального параметра, 2) щоб таку нерівність можна було довести методом математичної індукції (сила залежності, 10в), 3) щоб з цієї нерівності випливала (сила логіки, 1а, 1в) нерівність з умови задачі.

Загальний вигляд потрібної нерівності , де

35 < f(1003), g(1003) < 36, бо саме тоді з такої нерівності випливатиме початкова. Щоб можна було скористатись методом математичної індукції, потрібно, щоб при n ³ 2 для функцій f(n) і g(n) справджувались нерівності

, , , .

Якими мають бути функції f(n) і g(n) ? Спроба відшукати їх серед лінійних функцій (сила руху, 7а, 7в) не призводить до успіху, бо, наприклад, для

f(n)= an + b з умови отримаємо нерівність an £ b, яка не може справджуватись при всіх достатньо великих n і додатньому a.

Спробуємо відшукати функції f(n) і g(n) серед функцій виду , де a і b – деякі сталі, a > 0 (сила випадкового, 12а, 12б, 12в). Тоді для першої із них дістанемо систему нерівностей (елемент навчання)

, а для другої – .

Виконавши найпростіші перетворення нерівностей обох систем, матимемо

систему , або, відповідно, систему .

У обох випадках третя нерівність має справджуватись при усіх натуральних n ³ 1, тому достатньо (сила спокою, 8в, 8д), щоб a + 4b > 0 та a + 5b > 0 для першої системи і a + 4b = 0 та b £ 0 – для другої. Тоді для відшукання параметрів a і b дістанемо систему лінійних нерівностей (елемент навчання)

, або, відповідно, систему .

Розв’язуючи ці системи відносно b, дістанемо відповідно системи

і .

Щоб обидві системи мали розв’язок, необхідно, щоб справджувались нерівності і .

Після розв’язування для першої системи отримаємо 1, 221...< a < 1,25 та

1,2857… < a <1,292… – для другої. Так, наприклад, можна взяти (сила спокою, 8б)

a = 1,24, b = – 0,24 для функції f(x) і a = 1,29, b = – 0,3225 для функції g(x).

Таким чином, тепер ми наперед знаємо (сила детермінованого, 11а, 11в), що нерівність

доводиться індукцією за n >1, а якщо у ній взяти n = 1003, дістанемо нерівність з умови задачі.

Якби ми відразу скористались силою випадкового ( 12а, 12б) без пояснення того, як саме утворились функції f(x) і g(x), навряд чи хтось інший міг би сподіватись на аналогічний випадок !

х² + 4у і у² + 5х є квадратами цілих чисел.

Скориставшись силами руху (7е) і випадкового (12а,12в), спробуємо відповісти на запитання задачі принаймні для деяких значень х і у. Сила гармонії (3б, 3в) підказує розпочати з випадку х = у, а потім збільшувати різницю | x –у |. Якщо число х² + 4х є квадратом, тоді маємо три квадрати натуральних чисел х² , х² + 4х і х² + 4х + 4. Не помітити третій із них – значить не знати тривіальної формули квадрата суми двох чисел (елемент навчання). Єдиним квадратом, що знаходиться між х² і х² + 4х + 4 є число (х + 1)² , тому має справджуватись рівність х² + 4х = х² + 2х + 1, яка неможлива для цілих чисел (зауважимо, що сила випадкового проявила тут себе природно, але й справді несподівано). Розглянемо випадок у= х + 1. Тепер число

х² + 4у = х² + 4х + 4 = (х + 2)² є квадратом, отже, потрібно з’ясувати, чи буде квадратом інше число з умови задачі – число у² + 5х = х² + 7х + 1. Для цього використаємо силу залежності (10а, 10б, 10д) і застосуємо прийом, що природно з’явився при розгляді випадку х= у.

Маємо нерівності х² + 2х + 1 < х² + 7х + 1 < х² + 8х + 16, тому х² + 7х + 1 =

х² + 4х + 4 або х² + 7х + 1 = х² + 6х + 9, бо саме квадрати (х + 2)² та (х +3)² знаходяться між квадратами (х+1)² та (х+ 4)². У обох випадках дістанемо шукані пари чисел (1;2) та (8;9). Нехай тепер у = х+2. Аналогічно попередньому дістанемо: х² + 4у = х² + 4х + 8 є квадратом і х²+ 4х + 4 < х² + 4х + 8 < х²+ 6х + 9, що неможливо, бо (х + 2)² та (х + 3)² – квадрати двох послідовних чисел.

При збільшенні різниці у – х можна щоразу давати відповідь на запитання, чи можлива така конкретна різниця, але не більше. Як розглянути загальний випадок? Використаємо силу спокою (8в, 8б, 8г) і дамо відповідь на запитання, яка цінність розглянутих прикладів, крім того, що уже знайдено дві пари натуральних чисел (1;2) та (8;9). По суті, використовувалось таке спостереження: між двома квадратами натуральних чисел існує лише скінченна кількість інших квадратів.

Повернемось до початкової умови і скористаємось силою тотожності (6г,6в). Адже у ній є твердження про те, що обидва числа х²+ 4у і у²+5х є квадратами цілих чисел. Помічаємо, що з нерівності y < x випливає нерівність х² < х²+ 4у < x²+ 4х<(х+2)², яка уже використовувалась раніше (сила залежності, 10д), тому має справджуватись рівність х²+ 4у = (х+1)² = х²+2x+1, тобто 4у = 2x+1. Така рівність неможлива, бо у її лівій частині стоїть непарне число, а справа – парне.

При розгляді випадку x<y отримаємо нерівність y² <y²+5x < y²+ 5y<(y+3)², звідки y²+5x = (y+2)² або y²+5x = (y+1)², тому 5x = 4y+4 або 5x= 2y+1 відповідно.

Переформулюємо тепер дві нові задачі (сила символу, 5а, 5в, 5г).

Нехай 5x= 4y+ 4 (або 5x=2y +1), де х і у – натуральні числа. Коли х²+ 4у буде квадратом цілого числа ?

У першій із них число х має ділитись без остачі на 4, тому воно матиме вигляд

x =4u, тоді y=5u –1, х²+4у=16 u²+ 20u – 4= v² для деяких натуральних чисел u і v (елемент навчання).

Скористаємось силою залежності (10б, 10г) і виділимо повний квадрат у лівій частині останньої рівності. Дістанемо (8u + 5)² – 4v²=41, або, розкладаючи на множники, (8u + 5 – 2v)(8u + 5 + 2v)=41.

Тепер маємо єдину можливість: 8u + 5 – 2v = 1, 8u + 5 + 2v=41, звідки (елемент навчання) u = 2, v = 10, отже, х = 8, у = 9 (уже відомий розв’язок початкової задачі).

У другій утвореній задачі маємо (сила залежності, 10д) 5x = 2y +1, тому х – непарне число, x = 2u + 1, звідки у = 5u + 2, х²+4у=4 u²+ 24u + 9 = v² для деяких натуральних чисел u і v. Знову, виділяючи повний квадрат, дістанемо

(2u + 6)² – v²=27, або, розкладаючи на множники, (2u + 6 – v)(2u + 6 + v)=27. Тепер маємо дві можливості:

і , звідки u = 0, v = 3 і u = 4, v = 13 відповідно. У першому випадку виходить, що х = 1, у = 2 – уже знайдений розв’язок початкової задачі, а у другому – ще один (новий): х = 9, у = 22.

(елемент навчання), і цей прийом врешті-решт повинен призвести до успіху

Скоротились суми квадратів зліва і справа, а не тільки х² (сила випадкового, 12г)

.

Міркування і сили, використані у попередньому прикладі, потрібно використати й тут. Однак є деяка “неприємність”. Тієї особливості, яку мали підкореневі вирази із попередньої задачі, тепер немає. Потрібно скористатись силою свободи (9б, 9г), і шукати іншу закономірність. Розклавши на множники підкореневі вирази (елемент навчання), отримаємо послідовно (x –1)(9 – x), (x –1)(x – 4), (8 – x)(9 – x),

(x – 4)(8 – x). Тепер, по-перше, легко знайти множину допустимих значень х, при яких усі чотири квадратичних функції невід’ємні (елемент навчання): нею будуть усі числа із проміжку [4;8]. По-друге, помітити, що добуток першої і четвертої функції дорівнює добуткові другої і третьої. Ця випадковість (12г) дає можливість, записавши по-іншому початкове рівняння (сила символу, 5а), скоротити подвоєні добутки після піднесення обох частин рівняння до квадрату.

Дістанемо послідовно: ,

(x – 1)(9 – x) + (x – 4)(8 – x) = (x – 1)(x – 4) + (8 – x)(9 – x), 4x² – 44x + 117 = 0.

Розв’язавши квадратне рівняння (елемент навчання), отримаємо , . Сила тотожності (6г) змушує здійснити перевірку, оскільки ми підносили до квадрату ліву і праву частини утвореного рівняння. Незважаючи на те, що обидва числа належать проміжку [4;8] це потрібно зробити (сила свободи, 9г, 9д). Бачимо, що коренем початкового рівняння буде тільки друге число .

Скористаємось силою залежності (10г), щоб узнати, скільки коренів має це рівняння. Елемент навчання – дослідження функції на монотонність за допомогою похідної.

Як його знайти ? Вирішальною тут є сила детермінованого (11а, 11в, 11д). Оскільки рівняння якось розв’язується, можемо надіятись на успіх за допомогою зведення даного рівняння лінійною заміною до кубічного рівняння з цілими коефіцієнтами, яке має раціональний корінь. Саме такі кубічні рівняння потрібно уміти розв’язувати у першу чергу (елемент навчання). Тоді корінь даного рівняння матиме вигляд , де a і b – раціональні числа. Сила тотожності (6а) змушує підставити у рівняння, щоб вияснити, для яких чисел a і b рівність правильна. Дістанемо.

Якщо вирази у дужках не дорівнюють нулеві, дістанемо суперечність із тим, що – ірраціональне число (елемент навчання). Отже раціональні числа a і b – корені системи рівнянь . Скористаємось силою спокою (8б, 8в, 8г) і детермінованого (11а), згадавши, що розв’язувати цю систему немає потреби. Необхідно знайти який-небудь її розв’язок.

Скориставшись силою випадкового (12а), підставимо замість а або b якесь конкретне значення. Так, при a = 0 матимемо систему , єдиний корінь якої легко знайти: (елемент навчання).

Таким чином, нам вдалось “угадати” єдиний корінь рівняння: .

Скористаємось силою випадкового (12г) і спокою (8г), щоб вияснити, яку особливість мають обидва чисельники. Очевидно, що їх можна записати у вигляді 2^х(5 – 6^х) та 3^х(5 – 6^х). Скористаємось силою символу (5в), позначивши у =5 – 6^х. Тоді рівняння можна записати у вигляді . Сила залежності (11г) вимагає скористатись формулами логарифму добутку, частки і звести логарифми до однієї основи (учбовий елемент). Дістанемо рівняння

.

Об’єднавши подібні доданки, помножимо рівність на , винесемо за дужки число і скоротимо на нього рівняння, отримуючи послідовно

,

.

Сила випадкового знову проявилась (12г), лишається тільки знову скористатись навчальними елементами: , , , . Розв’язуючи квадратне рівняння t² –5t + 6 = 0, де t = 6^x, дістанемо t₁ = 2, t₃ = 3, тому x₁= log₆ 2, x₃= log₆ 3 – корені початкового рівняння.

Ясно, що потрібно використати силу символу (5а) та силу випадкового (12г), оскільки в умові фігурують тільки квадрати довжин відрізків, і перекласти умову задачі на мову координат. Систему координат введемо, скориставшись силою логіки (1б): оскільки точка С в умові задачі зустрічається найчастіше (5 разів), помістимо початок координат у вершину С, направивши вісь Ох у напрямку до вершини В (зустрічається 4 рази), вважаючи при цьому, що вершини А і D знаходяться у верхній напівплощині. Дія сили логіки проявиться у тому, що умова задачі матиме найпростіший вигляд (сила гармонії, 3б). Вершинами чотирикутника будуть точки C(0;0), B(a;0), A (b;c), D(d;e), де a > 0, c > 0, e > 0, а умова буде записана у вигляді системи рівнянь

.

Розв’язати таку систему тільки навчальними засобами, без сили випадкового (12г) і сили спокою (8в), важко. Помітимо, що ліва частина першого рівняння системи входить у праву частину другого, тому після додавання лівих і правих частин відповідно першого і другого рівняння системи, після скорочення дістанемо рівність b= a + d. Якщо це значення b підставити у перше і друге рівняння системи (елемент навчання), матимемо . З цієї системи отримаємо 2ec= 2c², тому e = c, оскільки с > 0. Тоді із першого рівняння останньої системи дістанемо ad = 0, і, оскільки a > 0, то d = 0. Тепер із формули b= a+ d виходить, що b= a.

Лишається скористатись силою тотожності (6г), записавши координати вершин чотирикутника з урахуванням отриманої інформації, і помітити (елемент навчання), що утворились вершини прямокутника: C(0;0), B(a;0), A (a;c), D(0;с).

Сила спокою (8в, 8г) змушує дізнатися, що в умові є зайвим. Ясно, що перші шість цифр числа n ніяк не впливають на останні чотири цифри числа n³ – 2n² + n, тому можна вважати, що число n не більше, ніж чотирицифрове. Скористаємось силою руху (7в), щоб вияснити, які саме чотири останні цифри матиме число n³ –2n²+ n, вважаючи, що n є двоцифровим (перші дві цифри – нулі), n=17. Виконавши арифметичні дії, дістанемо 17³ – 2× 17² + 17= 4352.

У загальному випадку потрібно для довільного числа n вигляду 1000a+100b+ 17 обчислити число n³ – 2n² + n і переконатись, що його останні чотири цифри не залежать ні від цифри a, ні від цифри b, і, отже, дорівнюють 4352.

При обчисленнях знову скористаємось силою спокою (8д), з’ясувавши, що при обчисленні чисел n² і n³ можна не враховувати доданків, що закінчуються чотирма або більшою кількістю нулів. Тому n² = 289 + 3400b + 34000a + …, n³ = 17(289 + 3400b + 34000a + …) + 289(1000a+100b) + … = 4913 + 86700b + 867000a + …, де крапками позначені (сила символу, 5в, 5д) невраховані доданки. Тепер легко виконати указані в умові дії (елемент навчання):

n³ – 2n² + n = (4913+ 86700b+ 867000a+…) – (578+ 6800b+ 68000a +…) + (1000a+100b+17) = 4352 + 80000b + 800000a + … = 4352 + … , що й мало бути.

31 ° . Знайти усі цілі розв’язки рівняння .

Використаємо силу залежності (10г), виконавши найпростіше дослідження функції у лівій частині рівняння – знайдемо її додатній період. Скористаємось навчальним елементом, що є безпосереднім наслідком означення періодичності (сила тотожності, 6д): якщо функція f(x) має період T, то число kT буде періодом функції . Звідси дістанемо (сила логіки, 1а), що періодами функції будуть числа 4, 8, 12,…, періодами функції будуть числа 6, 12, 18,…, а періодами функції будуть числа 12, 24, …, тому періодом кожного доданка, і, отже, періодом даної функції буде число 12 (елемент навчання). Сила символу (5а, 5б) змушує переформулювати умову задачі: знайти усі цілі числа a із проміжку [0;12), що є розв’язками рівняння (тоді розв’язки початкового рівняння матимуть вигляд a+ 12n, де n – довільне ціле число). Можна скористатись силою руху (7в, 7г), підставляючи замість a числа 0, 1, 2,…, 11. Сила детермінованого (11в) і сила випадкового (12д) гарантують, що усі розв’язки так будуть знайдені, і ми дістанемо відповідь для початкового рівняння: x = 9 + 12n.

Сила спокою (8д) змушує задуматись над тим, чи є істотним радіус кола. Згадавши відповідні властивості гомотетії (елемент навчання), бачимо, що твердження досить довести для якогось одного із кіл, тому можна вважати, що радіус кола дорівнює одиниці. Наявність в умові задачі одиничного кола і точок на ньому підказує скористатись силою залежності (10г, 10е) і згадати означення тригонометричних функцій sinx та cosx ( сила тотожності, 10д). Сила гармонії (3д) підказує розмістити одну із даних точок на осі абсцис. Матимемо точки A (1;0 ),

=

=

Варто звернути увагу на ефективність дії сили символу на останньому етапі, оскільки потрібно тільки скористатись формулою косинуса різниці двох кутів.

Скориставшись силою символу (5а, 5б), запишемо умову задачі у інших термінах.

Знайти цілі числа m, n та дійсне ірраціональне число х, що є розв’язками системи

Ця система рівнянь не є стандартною, однак скористаємось силою залежності (10а, 10г, 10е) і застосуємо стандартні методи для її розв’язування. Для цього знайдемо значення х³ із першого рівняння системи і підставимо його у друге, дістаючи рівність х²(х²+ m)+ x= n, тобто х⁴ + mх² + x = n. Те саме значення х³ підставимо в останню рівність, дістаючи х(х²+ m)+ mх²+ x= n, тобто х³+ mх² + mx+ x= n. Сюди знову підставимо значення х³ (відчуйте освіжаючий подих сили руху, 7г).

Якщо коефіцієнт біля х у останній рівності не дорівнює нулеві, дістанемо суперечність із тим, що х – ірраціональне число (сила тотожності, 6г, 6д). Тому для відшукання m і n отримаємо систему рівнянь

Ця стандартна система розв’язується навчальними засобами, звідки m = 4, n= – 6. Таким чином (сила тотожності, 6а), оскільки для чисел m і n ми одержали дві можливості m = n = –1 та m = 4, n = – 6, то початкова задача звелась до відшукання дійсних ірраціональних розв’язків кожної із систем

Перше рівняння другої системи має цілий корінь х = 2 (навчальний елемент), тому його можна записати як (х– 2)(х² + х + 2) = 0 і побачити (сила символу, 5в), що дійсних коренів, крім х = 2, воно не має. Це значить, що друга система не має дійсних ірраціональних коренів.

Для розв’язання першої системи знайдемо з першого її рівняння х³ = х² – 1, звідки х⁵ = х² (х² – 1)= х⁴ – х² = х(х² – 1) – х² = х³ – х² – х = (х² – 1) – х² – х = – х – 1. Тому друга рівність першої системи справджується автоматично.

Нарешті, сила тотожності (6г) дає нам можливість стверджувати, що початкова задача стала рівносильною задачі знаходження кількості дійсних ірраціональних коренів рівняння х³ – х² + 1 = 0. Цю задачу розв’яжемо, переклавши її на іншу мову, скориставшись силою символу (5в). Похідна функції

Якби ми знали і пам’ятали досить цікаву тотожність

x⁵ + х + 1 = (x³ – x² + 1) (x² + x + 1),

то розв’язання початкової задачі істотно скоротилось би, однак нас цікавить не настільки сама задача, а те, як її міг би розв’язати достатньо підготовлений учень.

(х + 3у + 4)(х + 7у + 9).

Згадавши означення простого числа (сила тотожності, 6д), дістанемо чотири можливості, кожна із яких задається випадком, коли одна із двох дужок у останньому добутку дорівнює 1 або – 1, а інша дорівнює такому цілому числу p, яке має рівно два натуральних дільники. Розглядаючи по черзі кожен із випадків (сила руху, 7а) отримаємо відповідь.

Відповідь до задачі – пари чисел (0; –1), (3; –2),(– 3; –1),(4; –2) і тільки вони.

y > 0, w > 0 за побудовою. Сили логіки (1б) і гармонії (3г) і певна навченість зіграли не останню роль при виборі саме такої системи координат, бо висота даної піраміди, проведеної з вершини D, тоді дорівнюватиме координаті w вершини D, оскільки при такому введенні системи координат саме вона дорівнює відстані точки D(u; v; w) до площини Оху. Крім того, при виборі площини Оху важливим було знання того, що площа трикутника зі сторонами 14, 13 і 15 дорівнює цілому числу (це – найменший непрямокутний трикутник з такою властивістю). Сили абсурду (2в, 2г), гармонії (3б) і дисонансу (4д, 4е) проявилась принаймні у тому, що ввівши систему координат, ми звели задачу до системи рівнянь з п’ятьма невідомими x, y, u, v, w, і, здається, – це погано. Насправді, маємо значно “кращу” ситуацію: “тільки” дві системи з двома і трьома невідомими:

Віднявши рівняння першої системи, отримаємо 196 – 28х = 56, тому х = 5. Звідки

у = 12, оскільки y > 0 за побудовою системи координат (сила тотожності, 6г).

Щоб розв’язати другу систему рівнянь, віднімемо від її другого і третього рівняння перше рівняння, підставивши попередньо уже знайдені значення х і у (елемент навчання). Дістанемо

Звідси виходить, що u = – 3, v = 6. Тепер, враховуючи, що w > 0 (сила тотожності, 6г), з першого рівняння останньої системи отримаємо w = 6.

Звернімо увагу, що висота трикутника АВС (основи піраміди), проведена до сторони АВ, дорівнює у, тому немає потреби обчислювати площу основи за формулою Герона (сила свободи, 9г). Отже, об’єм піраміди дорівнює

Далі скористаємось силою дисонансу (4в), порушивши симетрію заміною

uv = t, u + v = s. Втім, тут діє і сила залежності (10д), оскільки цей прийом є стандартним способом вираження симетричних функцій через найпростіші симетричні функції uv та u + v. Використавши відомі формули (елемент навчання)

u³ + v³= (u + v)(u² – uv + v²) =(u + v)((u+ v)² – 3uv), отримаємо систему

розв’язування якої зводиться (елемент навчання) до кубічного рівняння

4t³ – 3 t² – 20 = 0. Цілий корінь цього рівняння легко відшукати, він дорівнює 2, отже, воно матиме вигляд (t –2)(4t²+5 t²+ 10)= 0, тому інших коренів рівняння не має (елемент навчання). Таким чином, t =2, s= 4, звідки u – корінь квадратного рівняння u² – 4u + 2 = 0, , .

37 ° . Розв’язати рівняння .

Скористаємось силою залежності ( 10а, 10г) від стандартного способу розв’язування ірраціональних рівнянь, підносячи обидві частини рівності до квадрату. Дістанемо рівняння , рівносильне початковому (сила тотожності, 6г), бо число дорівнює квадратові дійсного числа, отже, є невід’ємним, а число невід’ємне, оскільки дискримінант цієї квадратичної функції менший від нуля (елементи навчання). Сила тотожності (6а) проявила себе тоді, коли ми помітитили, що ліві і праві частини обох рівнянь (початкового і утвореного) – невід’ємні (сила тотожності, 6е).

Спростивши останнє рівняння (елемент навчання), дістанемо

.

Як розв’язати це рівняння ? Перевірка чисел ± 1, ± 2, ± 4 показує, що жодне із них не є коренем рівняння, тому воно не має цілих коренів (навчання). Сила детермінованого (11в) підказує використати силу випадкового (12г) і спробувати розкласти ліву частину на множники, що є квадратичними функціями з цілими коефіцієнтами, тобто вияснити, чи не існують цілі числа a, b, c, d, для яких справджується тотожність

.

Скориставшись силою дисонансу (4в), порушимо симетрію і скоротимо “удвічі” пошук цих чисел, вважаючи, що b £ d. Таке можна зробити, бо при виконанні зворотної нерівності ми можемо переставити дужки в останній тотожності.

Далі використаємо навчальні елементи, розкриємо справа дужки і порівняємо коефіцієнти біля однакових степенів х у лівій і правій частинах утвореної тотожності, дістаючи систему рівнянь

.

Скористаємось силою спокою (8в), встановивши, яке із рівнянь системи несе найважливішу інформацію. Легко помітити, що таким рівнянням є останнє, бо у ньому вказано на два цілих числа, добуток яких дорівнює чотирьом. Таких чисел мало, і, враховуючи, що b£ d, дістанемо всього чотири можливості (сила руху, 7а):

1. b = d= 2; 2) b= d= – 2; 3) b= 1, d= 4; 4) b= – 4, d= –1.

Перші дві з них суперечать третьому рівнянню системи, бо тоді в його лівій частині стоятиме парне число, а у правій – непарне. У третьому випадку, віднявши від третього рівняння перше, отримаємо рівність 3а = 20, неможливу для цілих чисел. І тільки у четвертому випадку вийде c = – 2, a = – 5. Сила випадкового спрацювала (12г) і ми одержали рівняння . Після розв’язування відповідних квадратних рівнянь дістанемо відповідь: ,, ,. Сила тотожності змушує (6г) підтвердити, що усі ці числа – корені початкового рівняння.

38 ° . Розв’язати рівняння .

Перш за все потрібно звільнитись від методів, використаних у попередній задачі (сила свободи, 9б, 9г). Якщо, всупереч цьому, діяти по аналогії (сила залежності, 10д), то дістанемо рівняння , ліва частина якого не є добутком двох квадратичних функцій з цілими коефіцієнтами. Скористаємось силою спокою (8а, 8в), щоб помітити зв’язок між лівою і правою частиною початкового рівняння.

Розклавши підкореневий вираз на множники, дістанемо х³– х = (х² – х)(х+1), де вирази у дужках – невід’ємні числа (елемент навчання). Крім того (сила випадкового, 12г), маємо рівність х²+ х+2 = (х²– х) + 2(х+1), тому природною є заміна u = х² – х, v = х+1, після якої отримаємо систему, рівносильну початковому рівнянню (сила тотожності, 6г):

.

Підносячи до квадрата обидві частини першого рівняння цієї системи, дістанемо u² – 12uv + 4v² = 0, звідки . Потрібно звернути увагу на дію сил залежності (10г) і абсурду (2г), що змушують звести рівняння з одним невідомим до системи з двома невідомими. Далі – навчальні елементи: підставляємо знайдені значення u в друге рівняння системи, розв’язуємо квадратні рівняння, пересвідчуємось у тому, що u > 0, v > 0 і знаходимо x = v – 1, отримуючи відповідь , .

Як бачимо, незначні зміни в умові можуть істотно вплинути на вибір сил для розв’язування задачі.

39 ° . Розв’язати рівняння .

Знову скористаємось силою залежності (10а, 10д) і спробуємо записати ліву частину рівняння як добуток двох квадратичних функцій:

.

Відповідна система рівнянь для відшукання чисел a, b, c, d матиме вигляд

.

Потрібно звільнитись (сила свободи 9а, 9б) від ідеї пошуку цілих розв’язків цієї системи і спробувати розв’язати її навчальними засобами.

Знаходячи із першого рівняння c = – a, підставимо це значення в друге і третє рівняння системи, дістаючи співвідношення та . Звідси отримаємо , і, скориставшись четвертим рівнянням системи, матимемо , або ж , де t = a². Це кубічне рівняння має (!) цілий корінь t = 2, тому, підставивши значення у знайдені раніше формули для b, c, d, отримаємо , , . Ясно, що проявились сила випадкового (12 г), сила тотожності (6а, 6г), сила детермінованого (11в). Не таким очевидним є прояв сили руху (7а, 7г), оскільки ми спочатку діяли так, ніби система (указана вище) має цілі розв’язки, потім відмовились від цієї ідеї, а потім знову повенулись до неї, отже, відбувається рух “навколо ідеї”.

Залишається знову скористатись силою тотожності ( 6г) і помітити, що початкове рівняння можна записати у вигляді

.

Після розв’язування квадратних рівнянь дістанемо , .

40 ° . Нехай кожен член послідовності x_n, починаючи із третього, задається формулою x_n+2 = 10x_n+1 – x_n– 12, x₁ = 531, x₂ = 55. Знайти усі члени цієї послідовності, які є простими числами.

Сила спокою (8б) змушує вияснити, чи будуть простими числами x₁ та x₂. Бачимо, що 531 = 9× 59, 55 = 5× 11, отже, ці числа – непрості. Сила руху (7в, 7г) вимагає відшукати кілька наступних членів даної послідовності і розкласти їх на прості множники. Дістанемо x₃ = 7– просте, x₄ = 3 – просте, x₅ = 11 – просте,

x₆ = 95 = 5× 19 , x₇ = 927 = 9× 103, x₈ = 9163 = 49× 11× 17, x₉ = 90691= 89× 1019. Виникає природне запитання (сила свободи, 9б): ”Чи варто виконувати подальші обчислення членів послідовності ?” Перші вісім її членів були або простими числами, або ділились на невеликі прості числа. Надія на те, що буде помічена деяка закономірність, пов’язана із подільністю членів послідовності, зникла разом

із появою дев’ятого члена, що є добутком двох досить великих простих чисел.

Виникає питання про використання сил узагальнення і конкретизації, тобто про глобалізацію поставленої задачі. Найперше, що потрібно вияснити, де згадуються аналогічні способи задання послідовностей, тобто відшукати локальні цілі, які можуть наблизити нас до успіху.

Найвідомішою є послідовність Фібоначчі, яка задається формулою f_n+2= f_n+1+ f_n , де f₁ =f₂ =1. Члени f_n можна також задати формулою .

Вивчення літератури про числа Фібоначчі дає інформацію (сила гармонії, 3д; сила залежності, 10д) про те, що усі прості члени цієї послідовності ще невідомі, невідома навіть відповідь на запитання про скінченність кількості простих чисел серед чисел Фібоначчі. Члени послідовності х_n також можна задати формулою, аналогічною попередній, однак її ефективність – сумнівна через щойно сказане (сила свободи, 9г).

Реккурентна формула задання членів послідовності з’являється також при відшуканні пар натуральних чисел (х; у) – розв’язків рівняння Пелля x² – D y² =1 або узагальненого рівняння Пелля Аx² – Вy² =С, де А, В, С – попарно взаємно прості натуральні числа, а добуток АВ не ділиться на квадрат натурального числа, більшого від одиниці (сила гармонії, 3д; сила залежності, 10д). Так, наприклад, можна довести, що усі пари натуральних чисел (u; v), для яких справджується остання рівність (якщо такі існують), можна задати формулами , де (p;q) – найменший розв’язок рівняння p² –ABq² =1, (u₁;v₁) – розв’язок рівняння Аu²–Вv² =С, ,.

Послідовність u_n можна також задати без згадки про послідовність v_n формулою u_n+2 = 2pu_n+1 – u_n , де u₁ і u₂ – перші два члени цієї послідовності (маємо елементи навчання, тобто факти, отримані з іншої, сторонньої локальної цілі).

Скористаємось силою залежності (10а) саме від викладеного в останньому абзаці. Сила детермінованого (11а) надасть упевненості у правильності обраного шляху, якщо відшукати послідовності u_n і v_n, а також відповідні натуральні числа A, B, C, p, q.

Підкреслимо (сила спокою, 8в, 8г), потрібно знайти довільні послідовності u_n і v_n, які визначають розв’язки певного узагальненого рівняння Пелля. А новою локальною ціллю (сила тотожності, 6б, 6в) є знаходження рівняння, розв’язками якого є усі члени послідовності x_n .

Якщо у рівності x_n+2 = 10x_n+1 – x_n– 12 виконати заміну x_n = a u_n+ b для деяких

a і b (сила руху, 7в), дістанемо x_n+1 = a u_n+1+ b , x_n+2 = a u_n+2+ b . Звідси отримаємо тотожність a u_n+2+ b = 10(a u_n+1+ b ) – (a u_n+ b ) – 12.

Ця тотожність набуває вигляду (сила залежності, 10г, 10д) u_n+2 = 2pu_n+1 – u_n тільки тоді, коли p = 5, (елемент навчання), тому для деякого a , або ж . Зауважимо, що рівність u_n+2 = 10u_n+1 – u_n не порушується при зміні числа a , тому вважатимемо (сила випадкового, 12в), що a =1, отже u_n =2x_n – 3. Оскільки має справджуватись рівність p² – ABq² = 1 і p = 5, дістанемо ABq² =24. Візьмемо довільну трійку натуральних чисел (A, B, q), для яких остання рівність правильна, наприклад, A= 6, B=1, q=2 (сила випадкового, 12в).

Теорія узагальненого рівняння Пелля гарантує, що у будь-якому разі послідовність v_n буде знайдена (сила залежності, 10а, 10д), а саме, . Тоді отримаємо рівності і , звідки , тобто .

Ще раз зауважимо, що сила залежності ( 10а) дозволяє записувати ці формули за формальними ознаками – значеннями чисел A, B, C, p, q.

Тепер скористаємось силою свободи (9а, 9в, 9г). Теорія рівняння Пелля була використана тільки формально: сформульовані без доведення основні результати і на основі сказаного були побудовані дві послідовності u_n та v_n. Як звільнитись від недоведених тверджень? Сила детермінованого (11а, 11б) та сила символу (5д) вказують на досить простий шлях. Потрібно, маючи тільки послідовність x_n, задану в умові, розглянути уже записані раніше формули u_n = 2x_n – 3, , вважаючи їх означенням u_n і v_n. Сила тотожності (6е) вимагає вияснити лише те, чи завжди послідовності u_n та v_n можна побудувати. Відносно u_n сумніву немає і видно, що усі члени цієї послідовності – непарні числа. Саме тому u_n+1 – 5u_n – парне число, отже, v_n – завжди ціле число.

Безпосередня перевірка (навчальний елемент) дає формули u_n+2 = 10u_n+1 – u_n , . Зауважимо, що крім означення x_n , u_n і v_n тут нічого не потрібно.

Формулу доведемо, скориставшись силою руху (7в, 7г).

У випадку n = 1 дістанемо u₁ =2x₁ – 3=1062 – 3=1059, u₂ =2x₂ – 3=110 – 3=107, , тому , як і має бути. Тепер вияснимо, що відбувається з виразом при збільшенні числа n на одиницю:

.

Отже, вираз не залежить від n і дорівнює , тому для довільних натуральних n справджується рівність . Лишається підставити в неї значення u_n =2x_n – 3, щоб дістати шукане рівняння для x_n:

.

Скористаємось силою символу (5а) і переформулюємо початкову задачу.

Потрібно знайти усі прості числа х, для кожного із яких є квадратом цілого числа, тобто для якогось цілого у.

Оскільки маємо і число х – просте, то у – 1 або

у + 1 ділиться без остачі на х (елемент навчання). Розглянемо кожен випадок окремо (сила руху, 7а).

Якщо у – 1= k x для деякого цілого k, то

у + 1= k x+2, , , .

Якщо скористатись силою руху (7в) і підставити значення k = 0, 1, – 1, 2, – 2, 3,

– 3, 4, – 4, 5, – 5, 6, 7, то дістанемо прості числа: – 2 , 3, 7, 11. При k < – 4 і при

k > 6 отримаємо нерівність | x | < 1 (елемент навчання), тому число х простим не буде.

Розглянемо тепер випадок, коли у + 1= k x для якогось цілого k, тоді

у – 1= k x – 2, , , .

Сила спокою (8г) змушує задуматись, чим цей випадок відрізняється від попереднього. Ясно, що тільки знаком числа k. Оскільки ми розглядали як додатні значення k, так і від’ємні, ніякої нової інформації не з’явиться. Отже, знайдено усі прості значення х: 3, 7 і 11.

Сила тотожності (6г) змушує задуматись, чи уже розв’язана початкова задача.

Що ми знаємо про послідовність х_n ? Ось ця інформація:

1) x₃ = 7– просте, x₄ = 3 – просте, x₅ = 11 – просте;

2. для кожного x_n існує ціле число v_n , для якого ;
3. якщо х – просте і

довести, що послідовність x_n зростає і x_n > 11 при n > 5.

Скористаємось силою руху (7а, 7в, 7г). При n = 5 маємо нерівності x_n+1 – x_n > 0, x _n+1 >11.

З означення x_n (сила тотожності, 6д) і останніх двох нерівностей тоді випливає:

x_n+2 – x_{n +1} = 9x_n+1 – x_n –12 = 6x_{n +1} + (x_n+1 – x_n) + (2x_n+1 – 12) > 0,

x_n+2 = 10x_n+1 – x_n –12 = 7x_{n +1} + (x_n+1 – x_n) + (2x_n+1 – 12) > 0.

Оскільки нерівності x_n+1 – x_n > 0, x _n+1 >11 не порушились при збільшенні числа n на одиницю, вони залишаються правильними і при n > 5 (сила логіки, 1а). Таким чином, інших простих чисел, крім x₃ , x₄ та x₅, серед членів послідовності x_n немає.

У цій книзі пропонується новий підхід до понять виховання і навчання, які характерні для кожного виду діяльності. Щоб скористатись рушійними силами, необхідно: 1) сформулювати глобальні цілі даного виду діяльності; 2) вияснити, які особливості має виховний процес у ній; 3) скласти перелік елементів навчального процесу; 4) переконатись у ефективності дії рушійних сил на прикладах досягнення локальних цілей діяльності; 5) встановити, які особливості має процес активізації рушійних сил, направлених на розглянуту діяльність;

6) використати відомі рушійні сили при розв’язуванні нових задач діяльності – досягненні її локальних цілей.

1. Плахотник В.В., Рушійні сили виховання //Науковий вісник кафедри ЮНЕСКО// К., Видавничий центр КНЛУ, 2002, стор. 469 – 473.
2. Плахотник В. Рушійні сили виховання в математиці // Математика в школі//

К., 2004, № 5, стор. 4 – 8.

3. Плахотник В. Рушійні сили виховання в математиці // Математика в школі//

Тут наведені умови задач, розв’язання яких наводиться у третій частині книги. Усі сорок задач розбиті на кілька тематичних груп, збережений номер кожної задачі. Призначення додатка – дозволити читачеві ознайомитись з умовами, якщо він вирішить самостійно розв’язати якусь задачу.

2° . Яким має бути число х, щоб проміжок (– 2x – x² ; x² – x +1) містив

єдине ціле число ?

6° . Знайти всі такі пари цілих чисел (m ; n), що | 3^m – 2ⁿ | = 1.

12° . Знайти значення параметра а, при яких рівняння х(х² –1)(х² –10) = а має

принаймні три цілих корені.

15° . Знайти усі пари простих чисел (х;у), для яких 39х² – у² = 14.

24° . Знайти усі пари (x, y) натуральних чисел, для яких обидва числа

х² + 4у і у² + 5х є квадратами цілих чисел.

30° . Нехай 17 – останні дві цифри якогось 10-цифрового числа n. Довести, що

останні чотири цифри числа n³ – 2n² + n не залежать від решти цифр числа n

і знайти ці чотири цифри.

31° . Знайти усі цілі розв’язки рівняння .

33° . Для скількох дійсних ірраціональних чисел х будуть цілими числа

x³– x² і x⁵ + x ?

34° . Знайти усі цілі х і у, для яких число х² + 21у² + 10ху + 13х + 55у + 36 буде

1° . При яких значеннях параметрів а і b рівняння

| x – 2ab + a² | + | x – 2b² + ab | + b – 2 = 0 має єдиний розв’язок ?

7° . Знайти усі пари чисел (x; y), для яких справджується рівність

16° . Розв’язати систему рівнянь .

17° . Знайти усі додатні числа x, y, z , для яких справджуються рівності

Розв’язати рівняння

19° . 3 × 2^х + 4^х – 3 × 3^х – 1 = 0 .

26° . .

28° . .

37° .

38° . .

39° . .

8° . Довести нерівність .

9° . Розв’язати нерівність , якщо х – додатнє число.

10° . Знайти усі пари (a; b), для кожної з яких нерівність | ax² + 8x + b | £ 1

справджується для усіх чисел х, що належать проміжку [1;3].

11° . Довести нерівність 5sinx cos2x + 12 cosx sin3x < 13.

13° . Розв’язати нерівність [ x² ] – 3[ 2x ] + 4 £ 0, де [ x ] – ціла частина числа х,

тобто найбільше ціле число, що не перевищує х.

20° . Нехай a, b, c, d – додатні дійсні числа, a^{2 ³} 7b, c^{2 ³} 7d, c ³ a, 6bc ³ ad.

Довести, що ac ³ 6b + d.

23° . Довести нерівність .

3° . Прямокутник ABCD є основою піраміди ABCDS. Відомо, що AS = 5,

BS = 3, CS = 4. Знайти ребро DS піраміди.

4° . Знайти об’єм трикутної піраміди ABCD, якщо AB =13, BC = 20, AC = 19,

5° . Діагоналі опуклого чотирикутника перпендикулярні і одна із них

дорівнює 6 см. Відрізок, що сполучає середини двох протилежних сторін

22° . Знайти найменше значення суми відстаней від довільної точки простору до

усіх вершин прямокутного паралелепіпеда, сторони якого дорівнюють 3, 4 та 5.

29° . В опуклому чотирикутнику ABCD справджуються рівності AB² + BC² =

= CD² + AD² = BD², DC² + BC² = AC². Довести, що ABCD – прямокутник.

32° . Нехай A, B, C, D – послідовні точки на колі, A₁ , B₁ , C₁ , D₁ – середини дуг

AB, BC, CD, DA відповідно. Довести, що прямі A₁C₁ і B₁D₁ – перпендикулярні.

35° . Знайти об’єм трикутної піраміди ABCD, якщо AB = 14, AC = 13,

18° . Вияснити, чи буде періодичною функція .

21° . Довести, що серед членів послідовності, заданої умовою x_n+1 = 20x_n – 53, де

x₁ = 3, простими числами будуть тільки x₁ та x₂.

40° . Нехай кожен член послідовності x_n, починаючи з третього, задається

фомулою x_n+2 = 10x_n+1 – x_n– 12, x₁ = 531, x₂ = 55. Знайти усі члени цієї

послідовності, які є простими числами.