Кожен учень, який задумався про наукову роботу, має аналогічну проблему: де знайти наукового керівника і де знайти задачу, при розв’язуванні якої можна було б узнати про наявність принаймні деяких здібностей до наукової роботи. Багато здібних дітей могли б і самостійно відповісти на деякі запитання, якби знали, на які саме.

На сторінках видання “У світі математики” пропонується ввести цикл публікацій, які б містили постановки принаймні невеликої кількості задач дослідницького характеру. Чи вийде з кожної запропонованої задачі наукова робота, стане ясно тільки після того, як буде отримано якусь конкретну цікаву відповідь на поставлені запитання.

Кілька можливих робіт для учасників конкурсу-захисту Малої Академії Наук України пропонується цьому номері журналу. Роботи розраховані на учнів 9-11 класів. Автор запрошує інших вчених-математиків взяти участь у аналогічній роботі. Бажано, щоб запропоновані задачі були авторськими, щоб постановка задачі супроводжувалась принаймні деякими позитивними кроками у напрямку до розв’язання задачі. Ясно, що публікація задачі в цьому журналі або у якомусь іншому, зробить можливим для учнів звернутись до автора задачі з проханням про керівництво, або знайти собі іншого керівника і автори задач повинні розуміти, що обидва випадки цілком можливі. Але, у будь-якому разі, авторство постановки задачі збережеться.

Приклади. 1. Розглянемо послідовність чисел , для якої . Виявляється, для цієї послідовності існує нерівність , правильна при .

2. Розглянемо послідовність чисел , для якої . Виявляється, для цієї послідовності існує нерівність, , правильна при .

3. Розглянемо послідовність чисел , для якої . Виявляється, для цієї послідовності існує нерівність , правильна при .

Так, наприклад, наступне твердження легко доводиться за індукцією.

Теорема. При довільних натуральних і довільному дійсному справджується нерівність

,

де для чисел справджуються умови

.

Найважча частина роботи – передбачити, який вигляд мають функції та . Якщо правильно “вгадати” відповідь, доведення, найбільш ймовірно, не викликатиме суттєвих проблем.

При проведенні кожної діагоналі опуклого многокутника утворюється два опуклих многокутники. Позначимо через кількість вершин того із них, у якому ця кількість менша, і будемо називати число типом проведеної діагоналі. Так, наприклад, кожна діагональ опуклого чотирикутника чи п’ятикутника має тип 3. Легко зрозуміти, що при в опуклому -кутнику тип діагоналі може набувати довільного цілого значення від 3 до .

У правильному -кутнику всі внутрішні кути рівні між собою, всі сторони рівні між собою і рівні між собою всі діагоналі кожного із можливих типів. Правильне й обернене твердження, тобто з рівності усіх сторін, усіх внутрішніх кутів і усіх діагоналей кожного можливого типу для даного числа випливає, що опуклий -кутник буде правильним. Чи не можна послабити цей очевидний, але непотрібний критерій правильності -кутника і вимагати, щоб не всі внутрішні кути, сторони чи діагоналі певного типу були рівними між собою відповідно, а лише деякі з них?

Для прикладу розглянемо випадок .

Якщо вимагати рівність усіх кутів, рівність двох сторін і рівність обох діагоналей, дістанемо чотирикутник, який не обов’язково є квадратом, бо таким чотирикутником може бути й прямокутник.

Якщо у чотирикутнику є три рівних сторони, два рівних внутрішні кути і рівні діагоналі, такий опуклий чотирикутник також не обов’язково буде квадратом. Контрприкладом є рівнобічна трапеція, у якій одна із основ дорівнює бічній стороні.

Якщо ж вимагати рівність усіх сторін і рівність обох діагоналей, дістанемо чотирикутник, який є квадратом, як ромб з рівними діагоналями.

Якщо у чотирикутнику є три рівних сторони і три рівних внутрішні кути, такий опуклий чотирикутник також обов’язково буде квадратом. Доведення цього факту достатньо просте. Досить розглянути два різних випадки розмішення рівних кутів відносно рівних сторін.

Ці приклади дають повний опис випадків, коли при наявності певної кількості попарно рівних сторін, кутів та діагоналей певного типу опуклий

4-кутник обов’язково буде квадратом.

Щоб було зручно формулювати постановку задачі у загальному випадку, введемо деякі позначення.

Так, індексом множини всіх опуклих -кутників, у яких є не менше рівних внутрішніх кутів, не менше рівних сторін, не менше рівних діагоналей типу 3, …., не менше рівних діагоналей типу , називатимемо вектор

.

Якщо усі -кутники цієї множини – правильні, множину будемо називати тривіальною, а її індекс – тривіальним. Так, враховуючи сказане вище про випадок , бачимо, що індекси і є тривіальними, а індекси і не є тривіальними.

Оскільки при виконанні усіх нерівностей

з тривіальності індекса випливає тривіальність індекса , а з нетривіальності індекса випливає нетривіальність індекса , для опису всіх тривіальних індексів досить описати мінімальні (у природному сенсі) тривіальні індекси, а для опису всіх нетривіальних індексів досить описати максимальні нетривіальні індекси.

Із сказаного вище випливає що у випадку множина мінімальних тривіальних індексів має два елементи і , а множина максимальних нетривіальних індексів має два елементи і .

Чи може сума квадратів кількох послідовних натуральних чисел бути квадратом натурального числа? Природно, що відповідь залежить від того, скільки саме доданків містить сума (далі кількість доданків позначатимемо через ). Ясно, що першою згадується рівність у випадку . Однак навряд чи кожен може навести без обдумування принаймні ще один приклад. Втім, таких прикладів досить багато. Ось деякі з них:

, , , ,

, , .

Знайти такі співвідношення для фіксованої кількості доданків – не дуже складно. Однак, для цього потрібно знати алгоритм розв’язування рівняння Пеля і узагальненого рівняння Пеля. Для зацікавлення читача спочатку наведемо помічені факти.

Виявляється, для багатьох шуканих сум взагалі не існує. Прикладами можуть бути та інші. Є значення , для яких існує єдина сума. Так, при і наведені вище суми єдині. Є значення , для яких існує скінченна, більша за одиницю кількість сум. Так, існує рівно 7(сім) сум квадратів таких двохсот вісімдесяти дев’яти послідовних натуральних чисел, що кожна сума дорівнює квадратові натурального числа. Ось усі ці суми: , , , , , , ,

.

Зауважимо, що кількість сум може бути й парною. Так, існує рівно десять сум квадратів дев’ятисот шестидесяти одного послідовних натуральних чисел, таких що кожна сума дорівнює квадратові натурального числа. “Найменша і найбільша” з них мають відповідно вигляд

і .

І, нарешті, є значення , для кожного із яких існує нескінченно багато сум.

Так, при усі суми у певному сенсі є узагальненнями однієї з двох сум, наведених спочатку. А для відшукання всіх сум вигляду

потрібно скористатись рекурентними формулами

,

де або .

В такий спосіб дістанемо суми ,

та інші.

Так, наприклад, доведено таке твердження.

Теорема. Якщо або , то сума квадратів послідовних натуральних чисел не може бути квадратом цілого числа.

Доведення. Якщо ,

то після використання формули

дістанемо рівність , яку розглянемо по модулю 4.

Оскільки , отримаємо рівносильну умову .

Якщо тепер або , то або . У обох випадках дістанемо суперечність, і теорему доведено.

У кожній із трьох розглянутих вище задач можливі й інші, не вказані автором запитання, відповідь на які представляє інтерес. Які саме запитання, може стати зрозумілим у процесі вивчення, розв’язування задачі, пошуку відповіді на уже поставлені завдання.